§ 16. Закон всемирного тяготения

Определения и обозначения

Сила всемирного тяготения — сила взаимного притяжения любых тел, имеющих массу; она направлена вдоль прямой, соединяющей их центры. Иными словами, тела притягиваются друг к другу, а не действуют только на Землю или только на предмет рядом с ней. Это понятие помогает описывать гравитационное взаимодействие и указывать направление силы.

Закон всемирного тяготения утверждает: сила притяжения двух материальных точек прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними: F = Gm₁m₂/r². Здесь F — модуль силы, m₁ и m₂ — массы, r — расстояние между точками. Формула нужна, чтобы находить силу количественно и сравнивать её при изменении масс или расстояния.

Гравитационная постоянная G — коэффициент пропорциональности в законе всемирного тяготения; G ≈ 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг². Она связывает величины в формуле и позволяет получить силу в ньютонах, если массы заданы в килограммах, а расстояние — в метрах. Очень малое значение G объясняет, почему притяжение обычных предметов трудно заметить.

Материальная точка в задаче о тяготении — модель тела, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстоянием до другого тела. Например, планету можно считать такой точкой при расчёте её движения вокруг далёкой звезды. Эта модель упрощает задачу: вместо формы и размеров тел достаточно знать их массы и расстояние между центрами.

Как это устроено

Наблюдения за планетами и спутниками показали закономерности их движения, а падение тел на Землю — что тела испытывают притяжение и рядом с нами. Чтобы связать эти явления, учёные сопоставили движение небесных тел с действием силы на земные предметы. Так возник вывод: притяжение не является особым свойством одной Земли, а действует между всеми телами с массой. Закон описывает общее правило для самых разных масштабов — от предметов до планет.

Величина силы зависит от масс обоих взаимодействующих тел, потому что каждое из них участвует в создании гравитационного взаимодействия. В формуле массы перемножаются: F ∝ m₁m₂. Поэтому увеличение одной массы, например в три раза, при неизменных остальных величинах увеличивает силу тоже в три раза. Если изменить обе массы, нужно учитывать общий множитель: увеличение каждой вдвое даст рост силы в четыре раза.

Расстояние влияет на силу иначе: оно стоит в знаменателе и возводится в квадрат. Это означает, что по мере удаления взаимодействие ослабевает быстрее, чем при простой обратной пропорциональности. Если расстояние увеличить вдвое, знаменатель вырастет в четыре раза, а сила станет в четыре раза меньше. При увеличении расстояния втрое сила уменьшится в девять раз.

Формула непосредственно относится к материальным точкам, но ею можно пользоваться и для тел со сферически симметричным распределением массы. В таком случае их гравитационное действие при расчёте внешнего притяжения эквивалентно действию точек, помещённых в центры тел. Поэтому расстояние r измеряют от центра одного тела до центра другого, а не между ближайшими точками поверхностей. Если тела не обладают такой симметрией, их форму и распределение массы может понадобиться учитывать отдельно.

Каждое тело притягивает другое, поэтому взаимодействие нельзя описывать только одной силой, действующей на одно из них. По третьему закону Ньютона силы притяжения равны по модулю и противоположны по направлению. Они приложены к разным телам: например, Земля притягивает спутник, а спутник — Землю. Поэтому эти силы не компенсируют друг друга на одном теле, даже если массы тел сильно различаются.

Характеристики силы всемирного тяготения

Таблица помогает перед решением задачи проверить, какие величины входят в формулу и в каких единицах их нужно подставлять. Для сравнения сил достаточно проследить, как изменились массы и расстояние, не пересчитывая каждую величину полностью. Особенно внимательно проверьте квадрат расстояния и то, что оно измерено между центрами тел.

Разбор задач

Задача 1. Два тела массами 2 кг и 3 кг находятся на расстоянии 1 м. Найдём силу их притяжения. Сначала выпишем закон, затем подставим данные в единицах СИ и вычислим результат. Такая последовательность позволяет не перепутать массы и расстояние.

1. Записываем формулу: F = Gm₁m₂/r². Дано: m₁ = 2 кг, m₂ = 3 кг, r = 1 м. Значение G берём равным 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг².
2. Подставляем данные: F = 6,67·10⁻¹¹ · 2 · 3 / 1² Н. В знаменателе стоит квадрат расстояния, но единица в квадрате остаётся единицей. Получаем F = 4,002·10⁻¹⁰ Н.

Ответ: сила притяжения равна приблизительно 4,0·10⁻¹⁰ Н. Очень малое значение показывает, почему взаимодействие таких предметов обычно незаметно. При вычислении нельзя округлять G до значения, которое сильно изменит порядок результата.

Задача 2. Расстояние между двумя телами увеличили втрое, массы не меняли. Требуется определить, во сколько раз изменилась сила. Здесь удобно не подставлять конкретные массы, а сравнить начальную и конечную формулы. Постоянные величины при сравнении сократятся.

1. Обозначим начальное расстояние r, тогда новое расстояние равно 3r. Начальная сила F₁ = Gm₁m₂/r². Массы и G остаются неизменными.
2. Для новой силы получаем F₂ = Gm₁m₂/(3r)² = Gm₁m₂/(9r²). Значит, F₂ = F₁/9. Квадрат расстояния объясняет, почему сила уменьшается не втрое, а в девять раз.

Ответ: сила уменьшилась в 9 раз. Проверка: увеличение расстояния должно ослаблять притяжение, поэтому сила не может возрасти. В подобных задачах сначала определите, какая величина изменена, и только потом применяйте степень зависимости.

Задача 3. Известны сила притяжения F, масса второго тела m₂ и расстояние r; нужно найти массу первого тела. Неизвестную величину следует выразить из исходного закона, а не угадывать по пропорции. Затем проверим единицы полученного выражения.

1. Записываем закон: F = Gm₁m₂/r². Чтобы оставить m₁, умножаем обе части на r² и делим на Gm₂. Получаем m₁ = Fr²/(Gm₂).
2. Подставляем известные значения, предварительно переведя силу в ньютоны, расстояние в метры, массу — в килограммы. Проверяем размерность: Н·м² разделить на (Н·м²/кг² · кг) даёт кг. Следовательно, формула действительно выражает массу.

Ответ: масса первого тела находится по формуле m₁ = Fr²/(Gm₂). Численное значение можно получить после подстановки данных конкретной задачи. Если размерность не равна килограмму, значит, при преобразовании формулы или переводе единиц допущена ошибка.

Типичные ошибки

Первая ошибка — забыть возвести расстояние в квадрат и записать зависимость F ∝ 1/r. Её допускают, когда запоминают расположение расстояния в знаменателе, но не переносят показатель степени. Проверьте себя: если расстояние удвоили, закон должен давать уменьшение силы в четыре раза, а не в два.

Вторая ошибка — подставить расстояние между поверхностями тел вместо расстояния между центрами. Так происходит, потому что в обычной речи расстоянием между предметами часто называют промежуток между их краями. Для закона проверьте, где находятся центры: к промежутку между поверхностями нужно прибавить радиусы обоих тел.

Третья ошибка — учитывать массу только одного тела. Иногда кажется, что притяжение создаёт лишь более массивный объект, но закон содержит произведение m₁m₂. Перед подстановкой выпишите обе массы и сверьте их с формулой; если масса одного тела меняется, сила тоже меняется пропорционально.

Четвёртая ошибка — считать, что более массивное тело притягивает менее массивное с большей силой. Массы тел действительно могут различаться, однако силы взаимодействия равны по модулю и направлены противоположно. Проверьте, к какому телу приложена каждая сила: они действуют на разные тела, как требует третий закон Ньютона.

Связь с другими темами

Для изучения закона нужны понятия силы, массы и материальной точки, а также умение работать с пропорциональными зависимостями. Третий закон Ньютона объясняет, почему силы взаимодействия двух тел равны по модулю и противоположны по направлению. Сам закон всемирного тяготения применяют при изучении движения планет и спутников, веса тел и движения искусственных спутников Земли. Он позволяет связать наблюдаемое движение с действующей на тела гравитационной силой.

Что запомнить

• Все тела, имеющие массу, взаимно притягиваются.
• Сила притяжения пропорциональна произведению масс тел.
• Сила обратно пропорциональна квадрату расстояния между телами.
• Силы притяжения направлены вдоль линии, соединяющей центры тел.
• Взаимодействующие тела действуют друг на друга с равными по модулю и противоположными по направлению силами.
• Гравитационная постоянная G ≈ 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг².