"Физика (базовый уровень)", Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н. / Под ред. Парфентьевой Н.А.
Силы всемирного тяготения — это взаимное притяжение любых тел, от планет до небольших предметов. Закон всемирного тяготения позволяет вычислить силу такого притяжения по массам тел и расстоянию между ними. Он помогает объяснить движение планет и спутников, а также рассчитать действие гравитации на тела у поверхности Земли. Главное — учитывать квадрат расстояния и направление силы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сила всемирного тяготения — сила взаимного притяжения любых двух тел. Она направлена вдоль линии, соединяющей тела, поэтому помогает определить не только величину, но и направление воздействия. Это понятие нужно, чтобы описывать гравитационное взаимодействие предметов, планет и других объектов.
Закон всемирного тяготения задаёт модуль силы формулой F = Gm₁m₂/r². Закон применим к материальным точкам и к телам со сферически симметричным распределением массы. С его помощью можно вычислить силу, если известны массы тел и расстояние между ними.
Гравитационная постоянная G — коэффициент в формуле закона всемирного тяготения. Её значение приблизительно равно 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг². Эта постоянная позволяет связать массы и расстояние с силой в выбранных единицах измерения.
Принцип суперпозиции сил тяготения означает, что результирующая сила от нескольких тел равна векторной сумме сил от каждого из них. Вектор — это величина, у которой есть и модуль, и направление. Принцип нужен, когда на одно тело одновременно действуют несколько притягивающих объектов.
Притяжение взаимно, потому что каждое тело участвует во взаимодействии: первое притягивает второе, а второе — первое. Эти силы образуют пару, равную по модулю и противоположную по направлению. Они приложены к разным телам, поэтому не уравновешивают друг друга на одном объекте. Так проявляется общий характер взаимодействия, а не одностороннее действие одного тела на другое.
В формуле участвует произведение масс m₁m₂, потому что сила растёт вместе с каждой из них. Если увеличить одну массу в несколько раз, сила увеличится во столько же; если увеличить обе — учитывают оба множителя. Расстояние стоит в знаменателе в квадрате: по мере удаления тел притяжение ослабевает особенно быстро. Например, при увеличении расстояния в три раза сила становится в девять раз меньше.
Расстояние r выбирают между точками, которыми можно представить тела в расчёте. Для материальных точек это расстояние между самими точками. Для сферически симметричных тел можно считать, что их массы сосредоточены в центрах, поэтому измеряют расстояние между центрами. Расстояние между поверхностями не подходит: оно не показывает, как далеко разнесены центры масс этих тел.
Сила направлена к телу, которое притягивает рассматриваемый объект. Если притягивающих тел несколько, сначала определяют каждую силу отдельно, учитывая её направление. Затем складывают силы как векторы: например, силы под прямым углом дают равнодействующую, направленную по диагонали между ними. Такой способ нужен, потому что силы могут усиливать действие друг друга или частично компенсироваться.
Гравитационная постоянная G характеризует силу гравитационного взаимодействия в выбранной системе единиц. В СИ её измеряют в Н·м²/кг²: ньютон умножают на квадрат метра и делят на квадрат килограмма. Это не характеристика конкретной планеты или пары предметов, а одна и та же постоянная для любых тел и условий. Малое значение G объясняет, почему притяжение между привычными предметами обычно трудно заметить.
Пользуйся таблицей, чтобы выбрать правильный способ расчёта и проверить, какие данные нужны. В каждом случае сначала установи, что именно означают массы и расстояние. Если тел несколько, учитывай направление каждой силы отдельно.
| Ситуация или параметр | Как определить силу | Что важно учесть |
|---|---|---|
| Две материальные точки | F = Gm₁m₂/r² | r — расстояние между точками |
| Масса первого тела | Входит в произведение m₁m₂ | Увеличение массы в n раз увеличивает силу в n раз |
| Масса второго тела | Входит в произведение m₁m₂ | Зависимость от массы также линейная |
| Расстояние между телами | Квадрат расстояния стоит в знаменателе | Увеличение r в n раз уменьшает силу в n² раз |
| Два сферически симметричных тела | Используют ту же формулу | r измеряют между центрами |
| Несколько притягивающих тел | Вычисляют каждую силу, затем складывают векторы | Нужно учитывать направления сил |
Задача 1. Два тела массами 2 кг и 3 кг находятся на расстоянии 0,5 м. Найдём силу их притяжения. Данные уже выражены в единицах СИ, поэтому можно подставлять их в формулу без дополнительных переводов.
Запишем закон: F = Gm₁m₂/r². Подстановка чисел даёт F = 6,67·10⁻¹¹·2·3/0,5².
Вычислим знаменатель: 0,5² = 0,25 м². Числитель равен 4,002·10⁻¹⁰, поэтому F ≈ 1,6·10⁻⁹ Н.
Проверим единицы: массы заданы в килограммах, расстояние — в метрах, а итоговая сила получается в ньютонах. Значение очень мало, что ожидаемо для тел небольшой массы.
Ответ: сила притяжения равна приблизительно 1,6·10⁻⁹ Н.
Задача 2. Массу одного тела увеличили в 3 раза, а расстояние между телами — в 2 раза. Требуется сравнить новую силу с первоначальной. Удобнее не подставлять новые числа, а рассмотреть, как изменится каждый множитель формулы.
Увеличение одной массы в 3 раза увеличивает силу в 3 раза, поскольку масса входит в произведение линейно. На этом этапе сила стала бы втрое больше.
Расстояние увеличили в 2 раза, значит, квадрат расстояния вырос в 2² = 4 раза. Поскольку этот квадрат стоит в знаменателе, сила уменьшается в 4 раза.
Совместно изменения дают отношение F₂/F₁ = 3/4. Получившийся результат меньше единицы, поэтому новая сила составляет три четверти первоначальной.
Ответ: сила уменьшится в 4/3 раза и составит ¾ от первоначальной.
Задача 3. На тело действуют две силы тяготения, направленные под углом друг к другу. Нужно найти равнодействующую, если модули сил равны 6 Н и 8 Н, а угол между ними — 90°. Сначала определим каждую силу по закону тяготения, если заданы массы и расстояния; в этой задаче их модули уже известны.
Изобразим оба вектора из одной точки и отметим угол между ними. Поскольку силы перпендикулярны, их можно рассматривать как катеты прямоугольного треугольника.
Вычислим модуль равнодействующей по теореме Пифагора: R = √(6² + 8²) = √100 = 10 Н. Этот способ учитывает направления сил, в отличие от простого сложения их модулей.
Направление равнодействующей лежит между двумя силами, ближе к вектору большей силы. Если требуется угол, его можно найти из отношения тангенса: tg α = 6/8.
Ответ: модуль равнодействующей равен 10 Н.
Ошибка — заменить произведение масс их суммой, например использовать m₁ + m₂ вместо m₁m₂. Так могут ошибиться, потому что обе массы записаны в одной формуле и кажутся одинаково подходящими для объединения. Проверь себя по закону: каждая масса должна иметь отдельный множитель. Тогда увеличение любой одной массы вдвое действительно удваивает силу.
Иногда расстояние ставят в числитель или учитывают только в первой степени. Причина — забытая запись квадрата в формуле или смешение с другими зависимостями. Запиши знаменатель целиком: r², а затем проверь результат на простом изменении расстояния. При удвоении r сила должна уменьшиться в четыре раза.
Для сферических тел могут подставить расстояние между поверхностями, хотя нужно расстояние между центрами. Такая ошибка возникает, если измерять только видимый промежуток между телами. Чтобы проверить себя, отметь центры сфер и измерь промежуток от одного центра до другого. Если известен зазор между поверхностями, к нему нужно прибавить радиусы обоих тел.
При действии нескольких тел нельзя всегда складывать модули сил как обычные числа. Это допустимо лишь тогда, когда силы направлены одинаково; при других направлениях нужно учитывать их векторы. Ошибка часто возникает, когда рассматривают только численные значения. Нарисуй стрелки сил и сложи их по правилу сложения векторов.
Для изучения закона нужны понятия силы, массы и расстояния, а также умение работать с векторами и складывать их. Без этого нельзя правильно установить, куда направлено притяжение и какова равнодействующая нескольких сил. Закон всемирного тяготения помогает объяснять движение планет и спутников. Он также используется при расчёте ускорения свободного падения, связывая гравитационное притяжение с движением тела у Земли.
Почему тела на Земле тоже притягиваются друг к другу, хотя это незаметно?
Тела действительно притягиваются, но сила между обычными предметами очень мала из-за небольших масс. Она часто оказывается слабее трения и других воздействий, поэтому заметного движения не возникает.
Как определить расстояние между телами для формулы закона всемирного тяготения?
Для материальных точек берут расстояние между ними. Для тел со сферически симметричным распределением массы используют расстояние между их центрами, а не между поверхностями.
Почему при удвоении расстояния сила уменьшается в четыре раза?
В формуле сила обратно пропорциональна квадрату расстояния. Если расстояние увеличить вдвое, знаменатель станет в четыре раза больше, а сила — в четыре раза меньше.
Действуют ли силы тяготения на тела в вакууме?
Да. Для гравитационного притяжения не нужна материальная среда: тела притягиваются и в вакууме, если у них есть масса.
Как найти результирующую силу, если на тело притягивают несколько других тел?
Сначала вычисляют силу от каждого тела отдельно, используя закон всемирного тяготения. Затем находят векторную сумму этих сил с учётом их направлений.
§ 30. Силы всемирного тяготения
