6. Как измерили гравитационную постоянную

Определения и обозначения

Гравитационная постоянная G — коэффициент пропорциональности в законе всемирного тяготения: F = Gm₁m₂/r². Она характеризует силу гравитационного взаимодействия тел и является универсальной константой. Зная G, можно вычислить силу притяжения по массам тел и расстоянию между ними.

Крутильные весы — прибор, в котором силу взаимодействия тел определяют по углу закручивания нити. «Весами» их называют потому, что по равновесию системы можно сравнивать очень малые силы. Такой прибор нужен, когда прямое измерение силы обычным динамометром недостаточно чувствительно.

Крутильная нить — упругая нить, создающая момент сил, противодействующий её закручиванию. Чем сильнее её повернули, тем больше стремление вернуться в исходное положение. Благодаря этому угол поворота можно связать с действующей силой.

Крутильный момент — произведение силы на плечо: M = Fl. Он показывает способность силы вращать тело вокруг оси. В опыте момент притяжения шаров сравнивают с моментом упругой силы нити.

Как это устроено

Гравитационная постоянная входит в формулу силы тяготения, но сама сила между небольшими телами очень мала. Поэтому притяжение двух обычных грузов трудно заметить на фоне трения, вибраций и потоков воздуха. Для измерения используют чувствительный прибор, который реагирует не на небольшое перемещение, а на медленное закручивание нити.

В крутильных весах Кавендиша к горизонтальному стержню прикреплены два малых шара. Стержень подвешен за середину на тонкой крутильной нити и может поворачиваться вокруг вертикальной оси. Рядом с малыми шарами размещают два больших неподвижных шара, поэтому их притяжение действует на плечи стержня.

Большой шар притягивает расположенный рядом малый шар. Силы на двух концах стержня направлены так, что создают поворот вокруг оси подвеса, и нить закручивается. Одновременно упругость нити стремится вернуть стержень в начальное положение, поэтому вращение прекращается не из-за исчезновения притяжения, а из-за установления равновесия.

В равновесии момент гравитационной силы равен по модулю моменту упругой силы нити: M_тяг = M_упр. Угол закручивания показывает, насколько велик упругий момент, если известны свойства нити. Разделив найденный момент на плечо силы, получают силу притяжения: F = M/l.

После определения силы используют закон всемирного тяготения F = Gm₁m₂/r². Массы шаров измеряют заранее, а расстояние r берут между их центрами. Отсюда гравитационная постоянная равна G = Fr²/(m₁m₂), и по результатам опыта получают её численное значение.

Измерение гравитационной постоянной методом Кавендиша

В таблице показано, какую роль играет каждая величина в опыте. Сначала измеряют или находят параметры установки, затем через равновесие моментов определяют силу. После этого данные подставляют в закон всемирного тяготения и выражают G.

Разбор задач

Задача 1. Сила притяжения двух тел

Массы двух тел равны m₁ = 1000 кг и m₂ = 2000 кг, расстояние между центрами r = 10 м. Требуется найти силу их гравитационного притяжения, используя G = 6,67 · 10⁻¹¹ Н·м²/кг². Здесь достаточно прямо применить закон всемирного тяготения.

1. Записываем формулу: F = Gm₁m₂/r².
2. Вычисляем квадрат расстояния: r² = 100 м².
3. Подставляем данные: F = 6,67 · 10⁻¹¹ · 1000 · 2000 / 100 = 1,334 · 10⁻⁶ Н.

Ответ: F = 1,334 · 10⁻⁶ Н. Получилась очень малая сила, поэтому для её измерения нужен чувствительный прибор. Все величины были записаны в единицах СИ.

Задача 2. Нахождение G по результатам опыта

В опыте сила притяжения шаров F = 6,67 · 10⁻⁷ Н, массы шаров m₁ = 10 кг и m₂ = 20 кг, а расстояние между центрами r = 4,47 м. Нужно определить гравитационную постоянную. Искомую величину выражаем из закона тяготения, а не подставляем данные в исходную формулу без преобразования.

1. Из F = Gm₁m₂/r² получаем G = Fr²/(m₁m₂).
2. Находим r²: 4,47² ≈ 19,98 м².
3. Подставляем: G ≈ 6,67 · 10⁻⁷ · 19,98 / 200 ≈ 6,66 · 10⁻⁸ Н·м²/кг².

Ответ: G ≈ 6,66 · 10⁻⁸ Н·м²/кг². Число в условии выбрано для иллюстрации последовательности расчёта. В настоящем опыте результат сравнивают с общепринятым значением константы.

Задача 3. От момента к гравитационной постоянной

Плечо силы равно l = 0,2 м, момент, найденный по закручиванию нити, M = 1,0 · 10⁻⁸ Н·м. Массы шаров m₁ = 1 кг и m₂ = 2 кг, расстояние между центрами r = 0,5 м. Сначала найдём силу через момент, а затем по ней вычислим G.

1. Из M = Fl получаем F = M/l = 1,0 · 10⁻⁸ / 0,2 = 5,0 · 10⁻⁸ Н.
2. Используем G = Fr²/(m₁m₂).
3. G = 5,0 · 10⁻⁸ · 0,5²/(1 · 2) = 6,25 · 10⁻⁹ Н·м²/кг².

Ответ: сила взаимодействия равна 5,0 · 10⁻⁸ Н, а рассчитанная постоянная G = 6,25 · 10⁻⁹ Н·м²/кг². Реальные данные должны давать значение, близкое к табличному. Такой расчёт показывает связь между механикой вращения и законом тяготения.

Типичные ошибки

Вместо расстояния между центрами шаров берут расстояние между ближайшими поверхностями. Так происходит, когда геометрический размер шара путают с расстоянием в законе тяготения. Проверьте себя: мысленно отметьте центры масс и измеряйте отрезок именно между ними.

Забывают квадрат расстояния в знаменателе формулы F = Gm₁m₂/r². Ошибка возникает из-за привычки считать силу обратно пропорциональной просто расстоянию. Проверьте запись формулы до подстановки чисел и отдельно вычислите r².

Путают силу притяжения с моментом силы. Сила измеряется в ньютонах, а момент — в ньютон-метрах и равен произведению силы на плечо. Проверка проста: если в расчёте используется длина плеча, результат сначала относится к моменту.

Не переводят массы, длины и силы в единицы СИ. Тогда численное значение и единицы G оказываются неверными. Перед расчётом убедитесь, что масса дана в килограммах, длина — в метрах, а сила — в ньютонах.

Связь с другими темами

Для понимания опыта нужны закон всемирного тяготения, понятия силы, массы, расстояния и единицы СИ. Крутильные весы опираются на равновесие моментов сил и упругость, поэтому полезно знать, как сила действует на вращающееся тело. Значение G затем используют при расчётах движения планет и спутников, массы небесных тел и ускорения свободного падения.

Что запомнить

• Гравитационная постоянная G — универсальная физическая константа.
• Сила гравитационного взаимодействия прямо пропорциональна произведению масс тел.
• Сила тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния между центрами тел.
• В опыте Кавендиша силу притяжения определяют по закручиванию нити.
• При равновесии момент силы тяготения уравновешивается моментом упругой силы нити.
• Измерив силу, массы и расстояние, можно вычислить G.
• Метод Кавендиша сделал измеримым очень слабое гравитационное взаимодействие между лабораторными телами.