6. Как измерили гравитационную постоянную

Определения и обозначения

Гравитационная постоянная G — коэффициент в законе всемирного тяготения, который связывает силу притяжения с массами тел и расстоянием между ними: F = Gm₁m₂/r². Она нужна, чтобы по массам и расстоянию вычислять силу или, наоборот, находить неизвестную величину. Единица G в СИ — Н·м²/кг².

Крутильные весы — прибор, в котором лёгкий стержень с небольшими грузами подвешен на тонкой нити. Внешняя сила поворачивает стержень и закручивает нить. Такой прибор нужен для обнаружения очень слабого притяжения, которое обычными весами измерить трудно.

Крутильный маятник — система, которая совершает колебания, попеременно закручивая нить в разные стороны. Период колебаний зависит от упругости нити и инерции подвешенного тела. Измеряя этот период, можно исследовать свойства системы и действующие на неё силы.

Опыт Кавендиша — измерение притяжения между свинцовыми шарами с помощью крутильных весов. По реакции прибора находят силу, а затем используют закон всемирного тяготения для вычисления G. Это сделало возможным определение массы Земли.

Как это устроено

Любые два тела притягиваются, но для предметов повседневного размера их массы невелики. Поэтому сила получается настолько слабой, что её легко перекрывают трение, вибрации и случайные движения воздуха. Чтобы заметить гравитацию, нужна чувствительная система, реагирующая на очень малое воздействие.

В установке Кавендиша к тонкой нити подвешен лёгкий стержень с небольшими грузами на концах. Рядом размещают большие неподвижные свинцовые шары. Каждый большой шар притягивает ближайший малый груз, и силы создают момент, поворачивающий стержень. Большие шары не должны касаться малых: так влияние гравитации можно отделить от толчка или давления.

Повороту стержня мешает закрученная нить: она стремится вернуться в исходное положение. По мере поворота упругий момент нити растёт, пока не уравновесит момент сил притяжения. В положении равновесия угол поворота связан с силой, если известны свойства нити и геометрия установки. Поэтому даже крошечное притяжение превращается в измеримое смещение.

При одном способе измеряют смещение стержня при перемещении больших шаров и по нему вычисляют действующий момент, а затем силу. Можно также наблюдать крутильные колебания: изменение взаимодействия шаров меняет движение системы и измеряемый период. В обоих случаях прибор не показывает силу напрямую — её получают из измерений и свойств установки. Затем в формулу F = Gm₁m₂/r² подставляют найденную силу, массы и расстояние между центрами.

Когда G известно, закон тяготения связывает ускорение свободного падения у поверхности Земли с её массой: g = GMЗ/R². Здесь R — радиус Земли, а MЗ — её масса. Переставив множители, получают MЗ = gR²/G. Среднюю плотность вычисляют как массу, делённую на объём Земли, приближённо считая её шаром: V = 4πR³/3.

Как в опыте Кавендиша получают гравитационную постоянную

Таблица показывает последовательность: сначала показания крутильных весов переводят в силу, а затем находят G. Для вычисления нужны массы шаров и расстояние именно между их центрами. После этого G применяют для определения массы и средней плотности Земли.

Разбор задач

1. Сила притяжения двух шаров

Условие. Два шара массами m₁ и m₂ находятся на расстоянии r между центрами. Нужно записать силу их притяжения и выразить G. Здесь важно отличать известные параметры тел от искомой постоянной.

1. По закону всемирного тяготения сила равна F = Gm₁m₂/r².
2. Умножаем обе части на r², затем делим на m₁m₂: G = Fr²/(m₁m₂).
3. Проверяем смысл результата: чем больше измеренная сила и расстояние, тем больше вычисленное G при заданных массах.

Ответ: F = Gm₁m₂/r²; G = Fr²/(m₁m₂).

2. Найти G по данным опыта

Условие. Известны массы шаров, расстояние между ними и сила притяжения, найденная по повороту нити. Требуется определить G. Числовые значения не заданы, поэтому ответ записываем через данные задачи.

1. Обозначим силу, вычисленную по показаниям прибора, буквой F. Проверяем, что r — расстояние от центра одного шара до центра другого.
2. Подставляем параметры в формулу закона тяготения и выражаем постоянную: G = Fr²/(m₁m₂).
3. Если даны числа, переводим массы в килограммы, расстояние в метры, силу в ньютоны и выполняем вычисления.

Ответ: G = Fr²/(m₁m₂); единица результата — Н·м²/кг².

3. Масса и средняя плотность Земли

Условие. Известны G, радиус Земли R и ускорение свободного падения g у поверхности. Требуется найти массу и среднюю плотность планеты. Землю считаем шаром, а g — ускорением у её поверхности.

1. Сила тяжести тела массы m у поверхности равна mg, а гравитационная сила со стороны Земли — GMЗm/R². Приравниваем эти выражения.
2. Сокращаем массу тела и выражаем массу Земли: g = GMЗ/R², значит MЗ = gR²/G.
3. Находим объём Земли V = 4πR³/3 и вычисляем среднюю плотность: ρ = MЗ/V. Подставляем массу и радиус в согласованных единицах СИ.

Ответ: MЗ = gR²/G; ρ = 3MЗ/(4πR³).

Типичные ошибки

Крутильные весы не показывают силу непосредственно: они регистрируют поворот или колебания. Путаница возникает потому, что прибор называют весами, хотя он устроен иначе, чем бытовые весы. Проверьте себя: в решении сначала должны появиться измеренное смещение или период, затем — вычисленная сила.

Нельзя подставлять расстояние между поверхностями шаров вместо расстояния между центрами. Такая ошибка появляется, когда радиусы шаров не учитывают при измерении промежутка. Сверьте используемое r с геометрией: к расстоянию между поверхностями надо прибавить радиусы обоих шаров.

G и g — разные величины: первая универсальна, вторая зависит от небесного тела и места. Их легко спутать из-за похожих обозначений и участия в формулах гравитации. Проверьте единицы: у G это Н·м²/кг², у g — м/с².

В формуле силы расстояние возводится в квадрат, а массы и длины перед расчётом приводят к единицам СИ. Квадрат иногда забывают при переносе формулы, а сантиметры и граммы ошибочно подставляют как метры и килограммы. Перед вычислениями перепишите формулу целиком и проверьте каждую единицу и степень r.

Связь с другими темами

Для понимания опыта нужны закон всемирного тяготения, понятия массы и силы тяжести, а также умение измерять расстояние. Механика помогает разобраться в равновесии моментов сил: именно оно связывает поворот стержня с притяжением шаров. Крутильные колебания показывают, как свойства нити и подвешенной системы влияют на измерения. Значение G затем используют при определении масс небесных тел и расчётах движения планет и спутников.

Что запомнить

• Гравитационная постоянная входит в закон всемирного тяготения.
• Притяжение между обычными телами мало, поэтому его трудно измерить напрямую.
• Крутильные весы усиливают малое воздействие за счёт поворота чувствительной нити.
• Силу притяжения в опыте находят по повороту или колебаниям системы.
• В законе всемирного тяготения расстояние берут между центрами тел.
• Зная G, можно по ускорению свободного падения и радиусу Земли определить её массу.