"Физика. Базовый и углубленный уровни (в 2 частях) ", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.
Когда тело растягивают, сжимают или изгибают, оно стремится вернуться к прежней форме. Этому сопротивляется сила упругости: она возникает из-за взаимодействия частиц тела и направлена против деформации. Для небольших растяжений и сжатий пружины её модуль можно рассчитать по закону Гука: Fупр = k|Δl|. Коэффициент k показывает жёсткость тела, а применять формулу можно лишь пока деформация остаётся упругой.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Деформация — изменение формы или размеров тела под действием внешних сил. Например, при растяжении меняется длина, а при сжатии тело становится короче. Это понятие помогает описать, как нагрузка меняет тело, и определить, какая сила возникает в ответ.
Упругая деформация — деформация, которая исчезает после прекращения действия внешних сил. Если растянутую пружину отпустить и она вернётся к исходной длине, её деформация была упругой. Понятие нужно, чтобы отличать обратимые изменения формы от остаточной деформации.
Сила упругости — сила, возникающая при деформации тела и направленная против этой деформации. Растянутая пружина тянет свои концы навстречу друг другу, а сжатая отталкивает их. Эта сила объясняет, почему деформированное тело стремится восстановить форму.
Коэффициент жёсткости — величина, характеризующая сопротивление тела деформации и измеряемая в ньютонах на метр (Н/м). В законе Гука его обозначают k: при одинаковом удлинении более жёсткая пружина действует с большей силой. Знание k позволяет рассчитывать силу или деформацию.
Частицы тела взаимодействуют и располагаются около положений равновесия. Когда внешняя сила деформирует тело, частицы смещаются относительно друг друга, а расстояния между ними меняются. Возникающее взаимодействие стремится вернуть частицы к прежнему расположению, поэтому появляется сила упругости.
При растяжении тело удлиняется, а при сжатии его размеры уменьшаются; в обоих случаях меняются расстояния между частицами. При изгибе одна сторона тела растягивается, а другая сжимается, поэтому внутри возникает упругое сопротивление изгибу. При кручении части тела поворачиваются друг относительно друга, и взаимодействие частиц препятствует этому повороту. Во всех случаях сила упругости появляется потому, что деформация меняет взаимное расположение частиц.
Силу упругости называют возвращающей: она направлена так, чтобы уменьшить деформацию. Если пружину растянуть вправо, она тянет приложенное тело влево; если сжать, сила стремится раздвинуть её концы. Направление относится к силе, а не обязательно к движению тела: например, тело может продолжать двигаться в сторону деформации по инерции.
Для пружины при небольшом растяжении или сжатии модуль силы упругости пропорционален модулю изменения длины: Fупр = k|Δl|. Здесь Δl — разность между длиной деформированной пружины и её длиной без нагрузки, а k — жёсткость. Чем сильнее растяжение, тем больше сила; увеличение удлинения в два раза при неизменной жёсткости удваивает её модуль. В векторной записи для смещения x от равновесия используют Fупр = −kx: минус указывает на противоположное направление силы.
Жёсткость зависит от материала, толщины и формы тела, а также от размеров пружины: одинаковое усилие по-разному деформирует разные пружины. Закон Гука описывает приблизительно линейную зависимость, которая наблюдается при небольших деформациях. При слишком сильном растяжении пропорциональность нарушается, а после превышения предела упругости тело может не восстановить форму. Поэтому перед применением формулы нужно убедиться, что деформация остаётся упругой.
| Характеристика | Содержание | Обозначение и единица |
|---|---|---|
| Деформация | Изменение формы или размеров тела | Δl, м — изменение длины |
| Упругая деформация | Исчезает после снятия нагрузки | Отдельного обозначения нет |
| Направление силы упругости | Противоположно деформации | Вектор Fупр |
| Закон Гука | Модуль силы пропорционален деформации | Fупр = k|Δl| |
| Коэффициент жёсткости | Характеризует сопротивление деформации | k, Н/м |
| Условия применимости закона Гука | Небольшая упругая деформация | Тело не вышло за предел упругости |
Таблица помогает быстро выбрать обозначение и единицу, прежде чем подставлять величины в формулу. При расчётах сначала находите изменение длины, а затем проверяйте, что оно выражено в метрах и деформация остаётся упругой.
Задача 1. Пружина жёсткостью 200 Н/м растянута на 3 см. Найдите модуль силы упругости. Известны k и изменение длины, поэтому достаточно закона Гука. Перед подстановкой переведём сантиметры в метры.
Ответ: модуль силы упругости равен 6 Н. Использование метров согласуется с единицей жёсткости Н/м.
Задача 2. К пружине подвесили груз массой 0,5 кг, и она удлинилась на 2,5 см. Определите жёсткость пружины. Груз покоится, значит, силы на нём уравновешены: сила упругости равна по модулю силе тяжести. Возьмём g ≈ 10 Н/кг.
Ответ: жёсткость пружины равна 200 Н/м. Удлинение берём относительно длины ненагруженной пружины, а не её длину вместе с грузом.
Задача 3. Два соединённых последовательно упругих элемента имеют жёсткости 100 Н/м и 300 Н/м. Найдите их общее удлинение при нагрузке 6 Н. При последовательном соединении сила натяжения в обоих элементах одинакова. Поэтому можно найти удлинение каждого элемента отдельно и сложить результаты.
Ответ: общее удлинение равно 0,08 м, или 8 см. Более мягкий элемент растянулся сильнее, поскольку его жёсткость меньше.
Направлять силу упругости в ту же сторону, что и деформацию, — значит перепутать причину изменения формы с ответной силой. Такая ошибка возникает, если смотреть только на направление приложенной нагрузки. Проверьте себя мысленно: сила упругости должна стремиться уменьшить растяжение или сжатие.
Подстановка полной длины пружины вместо удлинения завышает или искажает результат. Закон Гука связывает силу с изменением длины, поэтому сначала нужно найти Δl = l − l₀, где l₀ — длина без нагрузки. Проверка проста: если пружина не деформирована, Δl равно нулю, и сила упругости по формуле тоже равна нулю.
Если подставить сантиметры при жёсткости в Н/м, численное значение силы окажется неверным. Обычно так происходит, когда единицы в условии оставляют без перевода. Перед вычислением переведите сантиметры в метры и проверьте единицы: (Н/м) · м = Н.
Применение закона Гука при любой деформации предполагает, что сила всегда пропорциональна удлинению. Это неверно за пределами малых упругих деформаций: тело может перестать возвращаться к исходной форме. Чтобы проверить применимость, учитывайте материал и величину нагрузки; если зависимость перестала быть пропорциональной, формула не подходит.
Для задач на силы упругости нужны второй закон Ньютона, сила тяжести, равновесие тела и правила сложения сил. Они помогают определить, какие силы действуют на тело и как связаны между собой, когда тело покоится или движется. Например, при равновесии подвешенного груза сила упругости уравновешивает силу тяжести.
Закон Гука пригодится при изучении колебаний пружинного маятника и механической энергии. Сила упругости возвращает систему к положению равновесия, а энергия может переходить между кинетической и потенциальной. Та же зависимость используется при расчёте конструкций и упругих элементов механизмов.
На практике упругие силы учитывают в динамометрах, амортизаторах и деталях механизмов. Динамометр связывает деформацию пружины с измеряемой силой, а амортизатор использует упругий элемент для смягчения воздействий. Понимание закона Гука помогает оценить, насколько изменится форма детали под нагрузкой.
Почему сила упругости возникает даже у твёрдого тела?
Твёрдое тело состоит из частиц, которые удерживаются силами взаимодействия около положений равновесия. При деформации частицы смещаются, и взаимодействие стремится вернуть их на прежние места. Так возникает сила упругости.
Чем сила упругости отличается от силы тяжести?
Сила тяжести возникает из-за притяжения тела Землёй и действует на тело независимо от его деформации. Сила упругости появляется при деформации и направлена против неё. Поэтому причина возникновения и направление этих сил различны.
Почему в законе Гука используют удлинение, а не полную длину пружины?
Сила упругости связана с тем, насколько пружина изменила свою длину по сравнению с недеформированным состоянием. Удлинение равно Δl = l − l₀, где l — длина растянутой пружины, а l₀ — её первоначальная длина. Если подставить вместо удлинения полную длину, сила будет рассчитана неверно.
Что означает знак минус в формуле векторного закона Гука?
В формуле Fупр = −kx величина x задаёт смещение, а минус показывает, что сила направлена противоположно ему. Если смещение направлено вправо, возвращающая сила направлена влево, и наоборот. Для модулей сил знак минус не нужен.
Можно ли применять закон Гука к резинке при любом растяжении?
Нет, закон Гука применим лишь в ограниченном диапазоне деформаций, где сила пропорциональна удлинению. Резинка при большом растяжении может вести себя нелинейно или потерять способность возвращаться к прежней форме. Поэтому нужно учитывать предел упругости и свойства конкретного материала.
§ 15. Силы упругости
