"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 3 частях)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.; под ред. Орлова В.А. (ч. 1); Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И., под ред. Орлова В.А. (ч. 2); Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Левиев Г.И. (ч. 3)
Когда тело растягивают, сжимают или сгибают, оно стремится восстановить прежнюю форму. Этому стремлению соответствует сила упругости — она возникает из-за взаимодействия смещённых частиц и направлена против деформации. Для пружины в пределах упругой деформации её модуль рассчитывают по закону Гука: Fупр = kΔl. Коэффициент жёсткости k показывает, насколько трудно деформировать тело; зная его и удлинение, можно находить силу или решать задачи о равновесии.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Деформация — изменение формы или размеров тела под действием внешних сил. Если после снятия нагрузки тело возвращается к прежнему состоянию, деформация упругая; если изменение сохраняется — пластическая. Это различие помогает понять, можно ли описывать тело законом Гука.
Сила упругости — сила, возникающая при деформации тела и направленная так, чтобы вернуть его в исходное состояние. Она действует со стороны деформированного тела на тело, которое его деформирует. Поэтому при решении задачи нужно учитывать не только величину этой силы, но и её направление.
Закон Гука связывает модуль силы упругости с величиной упругой деформации: Fупр = kΔl. Здесь Δl — изменение длины тела, например удлинение пружины, а не её полная длина. Формула позволяет по деформации найти силу или, если известна сила, определить деформацию.
Коэффициент жёсткости k характеризует сопротивление тела деформации и измеряется в ньютонах на метр (Н/м). Чем больше k, тем труднее растянуть или сжать тело и тем большая сила требуется для такого же изменения длины. Жёсткость зависит от свойств и размеров тела.
Пока тело не деформировано, его частицы находятся в положениях равновесия, где силы взаимодействия уравновешены. Внешнее воздействие смещает частицы и меняет расстояния между ними. Из-за этого силы взаимодействия уже не уравновешены и стремятся вернуть частицы в прежнее положение; их общее действие проявляется как сила упругости. Поэтому она возникает не только в пружине, но и в любом деформированном теле.
При растяжении длина тела увеличивается, при сжатии — уменьшается. При изгибе одна часть тела растягивается, а другая сжимается; при сдвиге параллельные слои смещаются друг относительно друга. При кручении сечения тела поворачиваются относительно друг друга. Во всех этих случаях меняется взаимное расположение частиц, и внутри тела возникают силы, стремящиеся устранить изменение; именно их называют упругими.
Направление силы упругости определяют по тому, какое действие вернуло бы тело к исходному состоянию. Растянутую пружину она тянет обратно, а сжатую — выталкивает к прежней длине. На рисунке сначала отмечают направление смещения или деформации, затем проводят силу упругости в противоположную сторону. Она не обязана быть направлена вертикально: направление задаётся деформацией и способом закрепления тела.
Для пружины при малой упругой деформации удвоение удлинения приводит к удвоению модуля силы упругости. Это выражает закон Гука: Fупр = kΔl, где коэффициент пропорциональности k постоянен для данной пружины. Такая зависимость помогает предсказывать силу при разных удлинениях и изображается прямой линией на графике силы от удлинения. Наклон этой прямой тем больше, чем жёстче пружина.
Одинаковое удлинение не означает одинаковую силу для разных пружин: их жёсткость может различаться. На k влияют материал и устройство тела, например его длина, толщина и форма. Закон Гука работает лишь в области упругих деформаций, пока зависимость силы от деформации остаётся пропорциональной и тело способно восстановиться. При слишком большой нагрузке пропорциональность нарушается, а деформация может стать пластической.
| Вид деформации | Что изменяется | Пример | Направление силы упругости | Связь с законом Гука |
|---|---|---|---|---|
| Растяжение | Длина увеличивается | Растянутая пружина | Против растяжения, к исходной длине | Для пружины при малой деформации: Fупр = kΔl |
| Сжатие | Длина уменьшается | Сжатая пружина | Против сжатия, к исходной длине | Для пружины при малой деформации сила пропорциональна сжатию |
| Изгиб | Меняется форма; части тела растягиваются и сжимаются | Прогиб линейки | Стремится выпрямить тело | Простую формулу закона Гука применяют с учётом модели и условий |
| Сдвиг | Слои смещаются параллельно друг другу | Деформация стопки карт | Стремится вернуть слои в исходное положение | Зависимость силы от сдвига определяется свойствами тела |
| Кручение | Части тела поворачиваются относительно друг друга | Закручивание стержня | Противоположно закручиванию | Для расчёта учитывают угол закручивания и устройство тела |
Сначала определите, что именно меняется в теле, а затем мысленно снимите внешнее воздействие: направление возврата покажет направление силы упругости. Формулу Fупр = kΔl напрямую используют для пружины при упругом растяжении или сжатии. Для изгиба, сдвига и кручения одного значения удлинения недостаточно.
Задача 1. Пружина жёсткостью 200 Н/м растянута на 3 см. Найдём модуль силы упругости. Здесь известны жёсткость и удлинение, поэтому можно применить закон Гука. Перед подстановкой нужно перевести сантиметры в метры, поскольку k задана в Н/м.
Ответ: модуль силы упругости равен 6 Н. Чем больше удлинение этой пружины в пределах упругости, тем больше сила, и здесь она определяется прямой пропорциональностью.
Задача 2. Груз массой 0,5 кг подвешен к вертикальной пружине жёсткостью 100 Н/м. Найдём удлинение в равновесии. Груз покоится, значит силы на нём уравновешены: сила упругости направлена вверх, а сила тяжести — вниз. Приравниваем их модули.
Ответ: пружина удлинится на 5 см. Использование равновесия важно: сама формула Гука связывает силу и деформацию, но не сообщает, какая сила действует на груз.
Задача 3. Брусок на горизонтальной поверхности соединён с пружиной. Горизонтальная сила 12 Н вызвала удлинение 4 см. Найдём жёсткость и силу упругости при удлинении 7 см. Предполагаем, что пружина всё время остаётся в пределах упругой деформации; сначала найдём её постоянную жёсткость.
Ответ: жёсткость равна 300 Н/м, модуль силы при удлинении 7 см — 21 Н; её направление противоположно растяжению.
Ошибка: считать, что сила упругости всегда направлена вверх. Так бывает, например, у вертикальной пружины, поддерживающей груз, но при горизонтальном растяжении направление будет горизонтальным. Ошибка возникает, когда запоминают отдельный пример вместо правила. Проверьте направление, представив, куда тело начнёт двигаться, если убрать внешнее воздействие.
Ошибка: подставлять сантиметры в закон Гука. Если k выражена в Н/м, удлинение необходимо указать в метрах, иначе единицы не согласуются. Сантиметры легко пропустить, потому что значение выглядит привычным. Перед вычислением запишите Δl в СИ и проверьте, что результат kΔl имеет единицу ньютон.
Ошибка: путать жёсткость с удлинением. Удлинение показывает изменение длины в конкретной ситуации, а жёсткость характеризует само тело и измеряется в Н/м. Их смешивают, поскольку обе величины входят в одну формулу. Проверьте смысл ответа: жёсткость не должна меняться только от того, что пружину растянули сильнее, пока она работает упруго.
Ошибка: применять закон Гука при любой деформации. Пропорциональность не сохраняется при сколь угодно большой нагрузке, а пластическая деформация вообще не исчезает после снятия силы. Причина ошибки — распространение правила за пределы условий, для которых оно верно. Перед расчётом проверьте, указана ли упругая область и не превышена ли допустимая деформация.
Для работы с силами упругости нужны понятия силы, второй закон Ньютона, условия равновесия и единицы измерения длины и силы. Сила упругости входит в уравнения движения наравне с тяжестью и другими силами, а в состоянии покоя может уравновешивать их. Позже закон Гука поможет описывать колебания пружинного маятника. Те же идеи используют при расчёте упругих конструкций и деформаций материалов.
Почему сила упругости появляется, если тело просто растягивают?
При растяжении частицы тела смещаются относительно своих положений равновесия, а расстояния между ними меняются. Силы взаимодействия частиц стремятся восстановить прежние расстояния, поэтому возникает сила упругости.
Куда направлена сила упругости у растянутой и у сжатой пружины?
У растянутой пружины сила упругости направлена к положению, в котором пружина не растянута. У сжатой она направлена от сжатого положения, то есть также стремится вернуть пружину к исходной длине.
Чем жёсткость пружины отличается от силы упругости?
Сила упругости возникает при конкретной деформации и измеряется в ньютонах. Жёсткость — характеристика самой пружины, показывающая, насколько сильно она сопротивляется деформации; её измеряют в Н/м.
Почему в законе Гука используется удлинение, а не полная длина пружины?
Сила упругости связана с тем, насколько длина изменилась по сравнению с недеформированным состоянием. Поэтому в законе Гука используют удлинение Δl, равное разности конечной и исходной длин, а не полную длину пружины.
Можно ли применять закон Гука при пластической деформации?
Нет. Закон Гука применим в пределах упругой деформации, когда после снятия нагрузки тело возвращается к исходной форме. При пластической деформации остаются изменения формы или размеров, и сила уже не обязана быть пропорциональна деформации.
§ 15. Силы упругости
