Силы упругости

Определения и обозначения

Деформация — изменение формы или размеров тела. Она бывает упругой и пластической: первая исчезает после снятия нагрузки, а вторая сохраняется. Это понятие нужно, чтобы описывать результат действия силы на пружину, проволоку, опору или другое тело.

Сила упругости — сила, возникающая при деформации тела и стремящаяся вернуть его к исходной форме и размерам. Она появляется из-за взаимодействия частиц внутри тела. Силу упругости учитывают, когда находят равновесие или движение деформированного тела.

Закон Гука связывает силу упругости с деформацией в пределах упругости: сила пропорциональна деформации и направлена противоположно ей. В проекциях используют формулу Fупр = −kx, а для модулей — Fупр = k|x|. Закон позволяет по жёсткости и удлинению вычислять силу, либо находить неизвестную деформацию.

Жёсткость — характеристика тела, показывающая, насколько трудно его деформировать. В законе Гука она обозначается буквой k и измеряется в Н/м. Большое значение k означает, что для той же деформации требуется большая сила.

Как это устроено

При внешнем воздействии частицы тела смещаются относительно положений равновесия. Расстояния между ними меняются, поэтому меняются и силы взаимодействия частиц. В результате возникает внутренняя сила, направленная к прежним положениям и возвращающая тело к исходному состоянию.

При упругой деформации частицы после снятия нагрузки возвращаются к прежним положениям, поэтому тело восстанавливает форму. При пластической деформации смещения частиц становятся необратимыми, и остаточная деформация сохраняется. Закон Гука применим только в области упругости, потому что лишь там зависимость силы от деформации остаётся пропорциональной.

Рассмотрим растянутую пружину: её конец сместили вправо, а пружина тянет этот конец влево. Если выбрать направление вправо положительным, то смещение x положительно, а проекция силы отрицательна: Fупр = −kx. При сжатии конец смещается влево, x становится отрицательным, и сила направляется вправо, то есть знак формулы снова показывает противоположные направления.

Для малых деформаций модуль силы прямо пропорционален удлинению или сжатию: Fупр = k|x|. Коэффициент k показывает, какая сила нужна для деформации на один метр: чем он больше, тем тело жёстче. Жёсткость определяется материалом, размерами и формой тела, поэтому у двух разных пружин одинаковое удлинение может вызвать разные силы.

При соединении пружин или выборе другого упругого тела изменяется общая жёсткость системы. Поэтому одинаковая деформация не означает одинаковую силу упругости: нужно знать значение k именно для данной системы. Например, более жёсткая пружина при том же растяжении действует сильнее, а мягкая — слабее.

Виды деформации и направление силы упругости

В таблице сначала определите, как именно изменилось тело, а затем установите направление возвращающего действия. Сила упругости не обязана быть направлена вверх: её направление зависит от вида деформации и выбранного тела.

Разбор задач

Задача 1

Пружину жёсткостью 200 Н/м растянули на 3 см. Найдём модуль силы упругости. Сначала переведём удлинение в единицы СИ.

1. 3 см = 0,03 м.
2. По закону Гука Fупр = k|x| = 200 Н/м · 0,03 м = 6 Н.

Ответ: 6 Н.

Задача 2

Под действием силы 6 Н пружина удлинилась на 2 см. Определим жёсткость и новое удлинение при силе 9 Н, считая деформацию упругой. Для одной и той же пружины k постоянно.

1. 2 см = 0,02 м.
2. k = F/|x| = 6 Н / 0,02 м = 300 Н/м.
3. При силе 9 Н: |x| = F/k = 9 Н / 300 Н/м = 0,03 м = 3 см.

Ответ: жёсткость 300 Н/м, новое удлинение 3 см.

Задача 3

Груз массой 0,5 кг покоится на вертикальной пружине жёсткостью 250 Н/м. В покое силы уравновешены, поэтому сила упругости по модулю равна силе тяжести.

1. Fтяж = mg = 0,5 кг · 10 м/с² = 5 Н.
2. kx = mg, поэтому x = mg/k = 5 Н / 250 Н/м = 0,02 м.
3. 0,02 м = 2 см.

Ответ: пружина удлинилась на 2 см.

Типичные ошибки

Сантиметры вместо метров. Удлинение подставляют в сантиметрах, хотя k измеряется в Н/м. Ошибка возникает из-за невнимания к единицам; проверьте, что перед вычислением длина переведена в метры.

Сила всегда направлена вверх. Так бывает не во всех ситуациях: у сжатой опоры сила может быть направлена вниз, если опора давит на тело. Чтобы проверить себя, мысленно определите, куда тело должно сместиться для восстановления формы.

Формула Fупр = kx без знака. Для модулей это допустимо только при записи Fупр = k|x|, а в проекциях знак минус обязателен. Проверьте, выбрана ли ось и противоположны ли направления силы и смещения.

Закон Гука применяют при любой деформации. За пределом упругости пропорциональность может нарушиться, а тело — не вернуться к исходной форме. Проверьте условие задачи: деформация должна быть малой и упругой.

Связь с другими темами

До изучения сил упругости нужны понятия силы, равнодействующей и равновесия. Также необходимо знать единицы СИ и уметь переводить сантиметры в метры. Эти навыки позволяют правильно составлять уравнения и не ошибаться в вычислениях.

Закон Гука используется при изучении колебаний пружинного маятника и упругой потенциальной энергии. Он также нужен при расчёте конструкций, где важно определить допустимую деформацию и возникающие силы.

Что запомнить

• Сила упругости возникает при деформации тела.
• Она стремится вернуть тело к исходной форме и размерам.
• Упругая деформация исчезает после прекращения воздействия.
• Закон Гука справедлив в области упругих деформаций.
• Модуль силы упругости равен произведению жёсткости на модуль деформации: Fупр = k|x|.
• В проекциях сила упругости пружины записывается как Fупр = −kx.
• Жёсткость измеряется в Н/м.