5. Как измерили гравитационную постоянную

Определения и обозначения

Гравитационная постоянная G — коэффициент в законе всемирного тяготения, одинаковый для любых тел и условий. Её значение примерно равно 6,67 · 10⁻¹¹ Н·м²/кг². Этот коэффициент показывает, насколько сильным будет притяжение при заданных массах и расстоянии, поэтому без него нельзя рассчитать гравитационную силу.

Закон всемирного тяготения утверждает: сила притяжения двух тел пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между центрами. Формула закона: F = Gm₁m₂/r², где F — сила, а r — расстояние между центрами тел. Она нужна, чтобы связать измеренные массы и расстояние с силой притяжения.

Крутильные весы — прибор, в котором лёгкий стержень с небольшими грузами подвешен на тонкой нити. Под действием слабого вращения стержень поворачивается, а нить закручивается и стремится вернуть его назад. Такая конструкция нужна, потому что способна заметить силы, слишком малые для обычных весов.

Крутильный момент — действие силы, способное повернуть тело вокруг оси; его величина зависит от силы и плеча, то есть расстояния до оси. В крутильных весах притяжение большого шара действует на груз сбоку от оси и создаёт момент. Именно поворот стержня показывает, что на грузы действует слабое притяжение.

Как это устроено

Измерить G трудно, потому что даже массивные предметы в лаборатории притягиваются друг к другу очень слабо. Возникающее отклонение легко заглушают вибрации, сквозняки и трение в опорах. Поэтому измерения проводят с чувствительным прибором и стараются уменьшить посторонние воздействия.

В опыте Кавендиша небольшие пробные грузы закреплены на концах лёгкого стержня, который подвешен на тонкой нити. Рядом можно разместить большие шары и подвести их к пробным грузам. Малые грузы удобны тем, что их положение меняется при слабом притяжении, а массивные шары создают заметное для прибора воздействие.

Каждый большой шар притягивает ближайший пробный груз. Сила приложена не на оси подвеса, поэтому возникает крутящий момент: он поворачивает стержень, а нить при этом закручивается. Если переставить большие шары на противоположную сторону, направление момента меняется и стержень отклоняется в обратную сторону; это помогает отличить гравитационный эффект от постоянной погрешности.

По мере поворота стержня нить сопротивляется закручиванию и создаёт возвращающий момент. Когда прибор приходит в равновесие, моменты притяжения и упругости нити уравновешиваются. Зная, как нить реагирует на закручивание, и измерив угол отклонения, можно определить момент, а затем силу, которая его вызвала.

Чтобы вычислить силу из момента, учитывают плечо — расстояние от оси подвеса до точки приложения силы. Массы шаров измеряют отдельно, а расстояние r берут между их центрами. Эти величины необходимы потому, что закон тяготения связывает силу именно с массами тел и расстоянием между их центрами.

Наконец, измеренную силу подставляют в формулу F = Gm₁m₂/r² и находят G. Так опыт Кавендиша показал, что слабое притяжение можно измерить в лаборатории, если использовать чувствительный прибор и аккуратный расчёт. Зная G и ускорение свободного падения у поверхности Земли, можно также определить среднюю плотность планеты, а затем её массу, если известен радиус.

Величины и этапы лабораторного определения гравитационной постоянной

Таблица показывает путь от наблюдаемого отклонения к искомому коэффициенту. Сначала по отклонению находят силу, затем используют массы и расстояние между центрами. Перед вычислением проверьте, что все величины выражены в единицах СИ.

Разбор задач

1. Найти силу притяжения двух тел

Даны тела массами 2 кг и 3 кг; расстояние между их центрами равно 0,50 м. Нужно найти силу притяжения. Здесь массы уже выражены в килограммах, а расстояние — в метрах, поэтому можно сразу использовать значение G в единицах СИ.

1. Записываем закон: F = Gm₁m₂/r².
2. Подставляем значения: F = 6,67 · 10⁻¹¹ · 2 · 3 / 0,50².
3. Вычисляем: 0,50² = 0,25, поэтому F ≈ 1,6 · 10⁻⁹ Н.

Ответ: сила притяжения примерно равна 1,6 · 10⁻⁹ Н. Её малость объясняет, почему бытовые весы не подходят для такого измерения.

2. Найти гравитационную постоянную

Массы шаров равны 2 кг и 3 кг, расстояние между центрами — 0,30 м, а измеренная сила притяжения — 1,0005 · 10⁻⁹ Н. Требуется определить G. Сначала выразим неизвестную постоянную из закона, чтобы не перепутать её с силой или ускорением.

1. Из F = Gm₁m₂/r² получаем G = Fr²/(m₁m₂).
2. Подставляем значения в СИ: G = 1,0005 · 10⁻⁹ · 0,30²/(2 · 3).
3. Считаем: 0,30² = 0,09, поэтому G ≈ 6,67 · 10⁻¹¹ Н·м²/кг².

Ответ: G ≈ 6,67 · 10⁻¹¹ Н·м²/кг². Проверка размерности подтверждает, что результат имеет единицы гравитационной постоянной.

3. Оценить массу Земли

У поверхности Земли ускорение свободного падения g ≈ 9,8 м/с², радиус R ≈ 6,37 · 10⁶ м, а G ≈ 6,67 · 10⁻¹¹ Н·м²/кг². Нужно оценить массу Земли, считая её сферическим телом. Приравняем силу тяжести тела у поверхности к силе притяжения со стороны Земли.

1. Записываем равенство: mg = GMm/R², где M — масса Земли.
2. Сокращаем массу пробного тела m и выражаем M: M = gR²/G.
3. Подставляем значения: M ≈ 9,8 · (6,37 · 10⁶)²/(6,67 · 10⁻¹¹) ≈ 5,96 · 10²⁴ кг.

Ответ: масса Земли составляет примерно 6,0 · 10²⁴ кг. Такой расчёт показывает, как лабораторное измерение G связывает явления на Земле с массами небесных тел.

Типичные ошибки

Подставляют в формулу расстояние между поверхностями шаров, хотя закон требует расстояние между их центрами. Так ошибаются, если измеряют промежуток между краями и забывают радиусы шаров. Проверьте, от какой точки отсчитывается r: для сферических тел это линия между центрами масс.

Забывают возвести расстояние в квадрат или ставят неверную степень. Это меняет результат и зависимость силы от расстояния: при увеличении r сила должна уменьшаться как 1/r². Перед вычислением выпишите формулу целиком и отдельно проверьте квадрат в знаменателе.

Смешивают G и g, потому что обе величины связаны с гравитацией и обозначаются похожими буквами. Но G — универсальная постоянная в законе тяготения, а g — ускорение свободного падения в конкретном месте. Сверяйте не только буквы, но и единицы: у G это Н·м²/кг², у g — м/с².

Считают, что крутильные весы непосредственно измеряют G. На самом деле прибор показывает отклонение, по которому с учётом свойств нити находят силу; значение G затем вычисляют по закону тяготения. Чтобы проверить ход решения, проследите всю цепочку: отклонение — момент — сила — расчёт G.

Связь с другими темами

Для расчётов нужен закон всемирного тяготения, а также умение находить силы и переводить величины в единицы СИ. Устройство крутильных весов опирается на понятия момента силы, равновесия и упругой деформации нити: без них непонятно, почему отклонение связано с силой. Измеренное значение G используют при вычислении масс небесных тел и изучении движения планет и спутников.

Что запомнить

• Гравитационная постоянная G входит в закон всемирного тяготения.
• G одинакова для любых тел; её значение находят экспериментально.
• Притяжение лабораторных тел очень мало, поэтому для измерения нужны чувствительные крутильные весы.
• Притяжение массивных шаров вызывает поворот стержня и закручивание нити.
• В закон тяготения подставляют расстояние между центрами тел.
• Зная G, можно связать ускорение свободного падения у поверхности Земли с её массой.