"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под редакцией Орлова В.А.
Третий закон Кеплера связывает период обращения небесного тела с размером его орбиты. Для эллиптической орбиты используют большую полуось, а для круговой — радиус. Квадрат периода пропорционален кубу большой полуоси: T²/a³ = const. Закон позволяет сравнивать орбиты планет и спутников, а с учётом закона всемирного тяготения — определять массу центрального тела.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Период обращения — время, за которое небесное тело совершает один полный оборот по орбите. Обычно его обозначают буквой T. Эта величина показывает, насколько быстро тело повторяет своё движение вокруг центрального тела.
Большая полуось орбиты — половина длины большой оси эллиптической орбиты; её обозначают буквой a. Она задаёт характерный размер эллипса, даже если расстояние до центрального тела постоянно не остаётся. Для круговой орбиты большая полуось совпадает с радиусом.
Третий закон Кеплера утверждает, что для тел, обращающихся вокруг одного центрального тела, отношение квадрата периода к кубу большой полуоси одинаково: T²/a³ = const. Закон нужен, чтобы сравнивать орбиты и находить неизвестный период или размер орбиты без полного описания движения.
Гравитационный параметр центрального тела — величина GM, где G — гравитационная постоянная, а M — масса центрального тела. Он определяет силу притяжения и движение тел в данном гравитационном поле. Через GM третий закон связывает наблюдаемое движение с массой планеты или звезды.
У эллиптической орбиты расстояние до центрального тела меняется, поэтому нельзя выбрать одно постоянное расстояние как её размер. Большая полуось остаётся неизменной характеристикой самого эллипса и одинаково описывает орбиты разной вытянутости. Именно поэтому в законе Кеплера используют a, а не случайное расстояние в данный момент.
Для круговой орбиты тело движется с постоянной скоростью v по окружности радиуса r. Угловая скорость равна ω = 2π/T, а линейная скорость связана с ней формулой v = ωr = 2πr/T. Приравнивая эту скорость к скорости, которую задаёт гравитационное движение, получают зависимость между T и r.
Гравитационная сила обеспечивает центростремительное ускорение: GMm/r² = mv²/r. После сокращения массы тела и подстановки v = 2πr/T получается T²/r³ = 4π²/(GM). Для круговой орбиты r = a, поэтому эта формула является частным случаем третьего закона Кеплера.
Из соотношения T²/a³ = const следует T ∝ a³ᐟ². Значит, при увеличении орбиты тело не только проходит больший путь за оборот, но и движется медленнее из-за более слабого притяжения. Поэтому период растёт быстрее, чем сам размер орбиты.
Для тел вокруг одного центрального тела записывают T₁²/a₁³ = T₂²/a₂³, или T²/a³ = const. Если учитывать закон всемирного тяготения, постоянная равна 4π²/(GM). Она зависит от массы центрального тела: чем больше M, тем сильнее притяжение и тем меньше отношение T²/a³.
| Что сравнивается | Обозначение | Формула или соотношение | Физический смысл |
|---|---|---|---|
| Период обращения | T | T = время одного оборота | Характеризует длительность обращения |
| Большая полуось орбиты | a | Для круга a = r | Задаёт размер эллиптической или круговой орбиты |
| Отношение для тел вокруг одного центрального тела | T²/a³ | T²/a³ = const | Позволяет сравнивать орбиты |
| Связь с массой центрального тела | G, M | T²/a³ = 4π²/(GM) | Показывает зависимость от гравитационного поля |
| Форма закона для круговой орбиты | T, r | T²/r³ = 4π²/(GM) | Связывает период с радиусом круга |
Сначала определите, какие тела обращаются вокруг одного центрального тела, и используйте одинаковую для них постоянную. Для эллипса подставляйте большую полуось, а для круга — радиус. Если требуется масса центрального тела, выбирайте формулу с G и M.
Планета обращается вокруг Солнца по орбите с большой полуосью, в 4 раза превышающей земную. Нужно найти период в земных годах. Для Земли T₁ = 1 год, а отношение больших полуосей равно a₂/a₁ = 4.
Ответ: период планеты равен 8 земным годам. Орбита увеличилась в 4 раза, поэтому период вырос не в 4, а в 8 раз.
Спутник обращается вокруг планеты в 8 раз дольше другого спутника. Требуется найти отношение больших полуосей орбит. Оба спутника движутся вокруг одного центрального тела, поэтому постоянная третьего закона для них одинакова.
Ответ: большая полуось дальней орбиты в 4 раза больше. Более долгий период соответствует орбите большего размера.
Период искусственного спутника равен T, а радиус его круговой орбиты равен r. Нужно определить массу планеты. Сопротивлением атмосферы и массой спутника по сравнению с массой планеты пренебрегаем.
Ответ: M = 4π²r³/(GT²). Чем больше радиус при том же периоде, тем больше вычисленная масса центрального тела.
Прямая пропорциональность периода и большой полуоси. Ошибка возникает, если забыть, что T² пропорционально a³. Проверка: пользуйтесь формулой T₂/T₁ = (a₂/a₁)³ᐟ², а не простой пропорцией.
Подстановка диаметра вместо радиуса или большой полуоси. Диаметр вдвое больше радиуса, поэтому такая замена сильно изменяет результат. Перед вычислением проверьте, что в формуле стоит именно r или a, а не 2r.
Использование чужой постоянной. Значение T²/a³ одинаково только для тел, движущихся вокруг одного центрального тела. Если центральные тела разные, применяйте 4π²/(GM) с массой нужного тела.
Путаница периодов. Период обращения описывает движение по орбите, а период вращения — оборот вокруг собственной оси. Спросите себя, вокруг чего происходит один полный оборот, и только затем выбирайте величину T.
До изучения закона нужны понятия движения по окружности, периода, радиуса и угловой скорости. Формула v = 2πr/T помогает вывести связь периода с радиусом круговой орбиты.
Третий закон опирается на закон всемирного тяготения и является частью законов Кеплера. Он объясняет, почему планеты и спутники движутся по орбитам с разными периодами.
Знание закона нужно для расчёта орбит искусственных спутников, определения расстояний между небесными телами и оценки масс планет и звёзд по наблюдаемому движению их спутников.
Почему в законе Кеплера используется большая полуось, а не среднее расстояние до центрального тела?
Эллиптическая орбита не имеет постоянного расстояния до центрального тела: тело то приближается, то удаляется. Большая полуось однозначно задаёт размер эллипса и сохраняет точную связь с периодом обращения.
Можно ли применять одну и ту же постоянную T²/a³ для спутников разных планет?
Нет, если планеты имеют разные массы. Постоянная равна 4π²/(GM), поэтому зависит от массы центрального тела. Для спутников, обращающихся вокруг одной планеты, она одинакова.
Как изменится период, если радиус круговой орбиты увеличить в 2 раза?
Период увеличится в 2³ᐟ² раза, то есть в √8 ≈ 2,83 раза. Увеличение радиуса вдвое не приводит к увеличению периода ровно вдвое.
Чем период обращения отличается от периода вращения небесного тела?
Период обращения — время одного оборота тела вокруг другого тела. Период вращения — время одного оборота самого тела вокруг собственной оси. Например, у планеты эти периоды обычно различны.
Можно ли по третьему закону Кеплера определить массу планеты или звезды?
Да. Если известны период обращения тела и большая полуось его орбиты, используют формулу M = 4π²a³/(GT²). Так можно найти массу центрального тела, например планеты по движению её спутника.
6. Третий закон Кеплера
