"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под редакцией Орлова В.А.
Средняя плотность планеты показывает, сколько массы приходится на единицу её объёма. Её можно найти, даже если масса неизвестна: достаточно связать гравитацию у поверхности или движение спутника с массой планеты. Для этого используют закон всемирного тяготения и движение по окружности. Главное в задачах — правильно различать радиус самой планеты и радиус орбиты спутника, а также подставлять в объём шара именно радиус планеты.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Средняя плотность планеты — отношение её массы M к объёму V: ρ = M/V. Если планету считают шаром радиуса R, её объём равен V = 4πR³/3. Эта величина нужна, чтобы описывать распределение массы по всему объёму планеты без учёта различий между её внутренними слоями.
Ускорение свободного падения g — ускорение, которое получает тело у поверхности планеты под действием её притяжения. Величина g связана с массой планеты и расстоянием до её центра. Поэтому измеренное у поверхности ускорение помогает найти массу, даже если взвесить планету невозможно.
Период обращения спутника T — время, за которое спутник совершает один полный оборот по орбите. Для круговой орбиты период зависит от её радиуса r и массы планеты. Измерив T и зная r, можно определить массу планеты, а затем — её среднюю плотность.
Первая космическая скорость — скорость, необходимая для движения по круговой орбите у поверхности планеты. Она зависит от притяжения планеты и её радиуса. Если известны эта скорость и радиус, их можно использовать для определения средней плотности.
Средняя плотность определяется через массу и объём, но массу далёкой планеты обычно нельзя измерить напрямую. Поэтому сначала её выражают через величины, доступные наблюдению, а уже потом подставляют в формулу плотности. Такой порядок позволяет решать задачу, не зная массу заранее.
У поверхности тело массой m притягивается к планете силой F = GMm/R². По второму закону Ньютона та же сила равна mg, поскольку тело получает ускорение свободного падения. Приравнивая выражения и сокращая m, получаем g = GM/R²: масса самого тела не влияет на результат, а масса планеты выражается как M = gR²/G.
Подставим найденную массу в определение плотности. Объём планеты, принятой за шар, равен 4πR³/3, поэтому ρ = (gR²/G)/(4πR³/3) = 3g/(4πGR). В формуле остаются g и R: чем больше ускорение при том же радиусе, тем больше средняя плотность; при выводе масса планеты исключается.
Для спутника на круговой орбите сила тяготения направлена к центру и обеспечивает центростремительное ускорение. Поэтому GMm/r² = mv²/r, где r — расстояние спутника от центра планеты. Если скорость заменить выражением v = 2πr/T, получится M = 4π²r³/(GT²); найденную массу делят на объём планеты, а не на объём орбиты.
Если спутник движется на высоте h над поверхностью, до центра планеты от него r = R + h. Это расстояние определяет силу притяжения и период, потому что именно на радиусе r проходит орбита. Объём же принадлежит планете, поэтому в выражение 4πR³/3 входит её собственный радиус R, а не r.
| Известные величины | Связь с массой планеты | Формула средней плотности | Условия применения |
|---|---|---|---|
| Ускорение свободного падения и радиус планеты | M = gR²/G | ρ = 3g/(4πGR) | Известны g у поверхности и R |
| Период спутника и радиус его круговой орбиты | M = 4π²r³/(GT²) | ρ = 3πr³/(GT²R³) | Орбита круговая; известны r, T и R |
| Первая космическая скорость и радиус планеты | M = v₁²R/G | ρ = 3v₁²/(4πGR²) | Спутник движется по круговой орбите у поверхности |
Сначала выбери строку, соответствующую данным задачи, и по второй колонке вырази массу. Затем подставь её в формулу плотности; при расчёте по спутнику особенно внимательно определи r. В таблице G — гравитационная постоянная, а R всегда обозначает радиус планеты.
Условие. Радиус планеты равен R, ускорение свободного падения у её поверхности — g. Требуется найти среднюю плотность. Масса не дана, поэтому свяжем её с g через закон всемирного тяготения.
Ответ: ρ = 3g/(4πGR). Сначала масса выражена через наблюдаемое ускорение, поэтому отдельно знать её не потребовалось.
Условие. Спутник обращается по круговой орбите радиуса r с периодом T, радиус планеты равен R. Нужно найти среднюю плотность. Здесь r уже задан как радиус орбиты от центра, поэтому складывать его с R не нужно.
Ответ: ρ = 3πr³/(GT²R³). В формуле одновременно присутствуют два радиуса, потому что один задаёт орбиту, а другой — объём планеты.
Условие. Спутник движется по круговой орбите на высоте h; известны период T и радиус планеты R. Требуется вычислить среднюю плотность. Прежде чем находить массу планеты, нужно установить расстояние спутника от её центра.
Ответ: ρ = 3π(R + h)³/(GT²R³). В численном расчёте R и h сначала переводят в метры, а периоды — в секунды.
Подстановка радиуса орбиты вместо радиуса планеты в формулу объёма приводит к неверному объёму и плотности. Так ошибаются, когда используют один символ для обоих расстояний или не следят за смыслом величин. Проверь себя: в V = 4πR³/3 должен стоять радиус планеты, а не спутниковой орбиты.
Некоторые считают, что масса планеты обязательно должна быть дана в условии. На самом деле её можно выразить через g или через параметры орбиты, поэтому исходное значение массы часто не требуется. Проверь решение: сначала запиши связь для доступных величин и вырази из неё M.
Высоту спутника h иногда принимают за радиус орбиты, хотя высота отсчитывается от поверхности. Это происходит, если мысленно не добавить радиус планеты. Перед вычислением отметь на схеме центр, поверхность и спутник: расстояние от центра должно быть r = R + h.
Ошибки в единицах и кубе радиуса меняют результат во много раз. Их допускают при смешении километров с метрами или при вычислении R³ как обычного R. Переведи величины в СИ и проверь единицы объёма: радиус в метрах в третьей степени даёт м³.
Для решения задач нужны закон всемирного тяготения и второй закон Ньютона: они связывают притяжение с ускорением и массой планеты. Также требуется формула объёма шара, поскольку планету приближённо считают шаром. Эти знания помогают перейти от определения плотности к величинам, которые можно измерить.
Расчёт по спутнику опирается на движение по окружности. Центростремительное ускорение направлено к центру орбиты, а линейная скорость связана с периодом соотношением v = 2πr/T. Поэтому период и радиус орбиты дают возможность определить гравитационное притяжение планеты.
Тот же способ рассуждения применяется при изучении искусственных спутников и космических скоростей. По наблюдениям за движением можно находить характеристики небесных тел, которые нельзя измерить напрямую. Плотность помогает сравнивать планеты по их массе и размерам.
Почему среднюю плотность планеты можно найти, даже если её масса неизвестна?
Массу можно выразить через наблюдаемые величины. Например, по ускорению свободного падения используют связь g = GM/R², а по движению спутника — равенство силы тяготения и центростремительной силы. Найденную массу делят на объём планеты.
Как определить массу планеты по периоду обращения спутника?
Для круговой орбиты приравнивают силу тяготения центростремительной силе, а скорость выражают через длину орбиты и период. Получается M = 4π²r³/(GT²), где r — радиус орбиты, T — период, G — гравитационная постоянная.
Чем радиус орбиты отличается от высоты спутника над планетой?
Высота h отсчитывается от поверхности планеты, а радиус орбиты — от её центра. Поэтому для спутника над поверхностью r = R + h, где R — радиус планеты.
Почему в формуле объёма нужно использовать радиус планеты?
Плотность определяется отношением массы планеты к объёму самой планеты. Радиус орбиты описывает путь спутника, а не размеры планеты, поэтому в формулу объёма шара V = 4πR³/3 подставляют R.
Можно ли считать орбиту спутника круговой в такой задаче?
Да, если в условии прямо сказано о круговой орбите или задача предлагает такое приближение. Тогда расстояние спутника от центра планеты постоянно, и можно использовать формулы движения по окружности. Для вытянутой орбиты эти формулы нельзя применять без дополнительных оговорок.
7. Задачи о средней плотности планеты
