"Физика. Базовый и углубленный уровни (в 2 частях) ", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.
Любые два тела притягиваются друг к другу — от планет и звёзд до предметов вокруг нас. Закон всемирного тяготения показывает, как сила этого взаимодействия зависит от масс тел и расстояния между ними: F = Gm₁m₂/r². Он помогает объяснить движение планет и спутников, а также вычислять силы притяжения. Главное при расчётах — правильно определить расстояние между центрами тел и учесть его квадрат.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сила всемирного тяготения — сила взаимного притяжения любых тел, направленная вдоль прямой, соединяющей их центры масс. Центр масс можно представить как точку, в которой условно сосредоточена масса тела. Это определение помогает понять, куда направлены силы при взаимодействии двух тел.
Закон всемирного тяготения описывает, как сила притяжения зависит от масс тел и расстояния между ними: F = Gm₁m₂/r². Здесь F — модуль силы, m₁ и m₂ — массы, а r — расстояние между центрами тел. Формула позволяет сравнивать силы и вычислять их значение.
Гравитационная постоянная G — коэффициент в формуле закона всемирного тяготения; G ≈ 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг². Она задаёт масштаб гравитационного взаимодействия и одинакова для любых тел. Её значение используют при расчётах в системе СИ.
Материальная точка в задаче о тяготении — модель тела, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстоянием до другого тела. Тогда форму и размеры тела не учитывают, а всю его массу считают сосредоточенной в одной точке. Такое упрощение делает расчёт возможным по простой формуле.
Наблюдая за планетами, астрономы замечали, что их движение меняется под действием притяжения, а тела на Земле падают из-за притяжения Земли. Возникла идея, что эти явления не требуют двух разных причин: и планеты, и обычные тела подчиняются одному закону. Это объединение помогло объяснить движение небесных тел теми же законами, которые описывают земные явления.
В формуле массы перемножаются: F = Gm₁m₂/r². Если увеличить только одну массу, например в 3 раза, произведение масс тоже возрастёт в 3 раза, поэтому сила станет втрое больше. Увеличение обеих масс влияет на силу по отдельности: если обе массы удвоить, сила вырастет в 4 раза.
Расстояние находится в знаменателе и возводится в квадрат, поэтому сила уменьшается при удалении тел. Если расстояние увеличить в n раз, знаменатель станет больше в n² раз, а сила уменьшится в n² раз. Например, при удвоении расстояния притяжение ослабевает в четыре раза, а не в два.
Величина r — не промежуток между поверхностями, а расстояние между центрами тел. Формулу применяют непосредственно к материальным точкам; размеры тела должны быть малы относительно расстояния до другого тела. Для сферически симметричных тел результат такой же, как если бы вся масса каждого тела находилась в его центре.
Каждое тело притягивает другое, поэтому в паре возникают две силы. По третьему закону Ньютона они равны по модулю, противоположны по направлению и приложены к разным телам. Постоянная G одинакова для разных тел, потому что характеризует гравитационное взаимодействие в целом, а не особенности конкретных веществ.
| Что рассматриваем | Обозначение или формула | Что важно помнить |
|---|---|---|
| Сила тяготения | F = Gm₁m₂/r² | Направлена вдоль линии, соединяющей центры тел |
| Массы тел | m₁ и m₂ | Сила прямо пропорциональна каждой массе |
| Расстояние между центрами тел | r | Сила обратно пропорциональна квадрату расстояния |
| Гравитационная постоянная | G ≈ 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг² | Универсальна; не зависит от свойств взаимодействующих тел |
| Область применения формулы | Материальные точки или сферически симметричные тела | Для сферических тел r — расстояние между их центрами |
Перед вычислением найди в условии массы и расстояние между центрами тел, а затем проверь единицы. По строкам таблицы удобно определить, как изменение каждой величины повлияет на силу. Для сферических тел сначала установи, дано ли расстояние между центрами или только между поверхностями.
Задача 1. Два тела массами 2 кг и 3 кг находятся на расстоянии 1 м между центрами. Найдём силу их притяжения. Массы и расстояние уже заданы в единицах СИ, поэтому их можно подставлять напрямую.
Ответ: сила притяжения равна примерно 4,0·10⁻¹⁰ Н.
Задача 2. Расстояние между двумя телами увеличили в 3 раза, массы не изменились. Сравним новую силу F₂ с первоначальной F₁. Поскольку массы и G остаются прежними, измениться может только знаменатель формулы.
Ответ: сила уменьшилась в 9 раз.
Задача 3. Одно тело заменили телом в 4 раза большей массы, а расстояние между центрами увеличили в 2 раза. Найдём отношение новой силы к прежней, чтобы учесть оба изменения одновременно. Масса второго тела и G не изменились.
Ответ: сила не изменилась.
Подстановка расстояния между поверхностями вместо расстояния между центрами даёт неверный результат. Так ошибаются, потому что часто именно промежуток между поверхностями описан словами «тела находятся на расстоянии». Проверь смысл r: для двух сфер к промежутку между поверхностями нужно прибавить оба радиуса.
При удвоении расстояния иногда считают, что сила уменьшается вдвое. Это забывает квадрат в знаменателе: (2r)² = 4r², поэтому сила падает в четыре раза. Проверка простая: сначала возведи коэффициент изменения расстояния в квадрат, а уже затем сравни силы.
Можно забыть возвести r в квадрат или неверно обработать единицы измерения. В формуле знаменатель — именно r², поэтому при r в метрах он измеряется в м². Перед подстановкой запиши квадрат всей величины вместе с единицей и проверь, что используешь единицы СИ.
Неверно считать, что силы взаимодействия направлены одинаково или действуют на одно тело. Эти силы относятся к разным телам, равны по модулю и направлены в противоположные стороны. Чтобы проверить себя, нарисуй два тела и изобрази на каждом отдельную стрелку, направленную к другому телу.
Для работы с законом нужны понятия силы, массы, материальной точки и расстояния, а также умение переводить величины в единицы СИ и работать со степенями. Закон применяют вместе с законами Ньютона, чтобы объяснять движение планет и спутников. Сила тяготения не тождественна силе тяжести: сила тяжести связана с притяжением тела Землёй у её поверхности и является частным случаем гравитационного взаимодействия.
Почему в законе всемирного тяготения расстояние возводят в квадрат?
Такова установленная опытом и объясняемая теорией зависимость гравитационного взаимодействия: сила убывает обратно пропорционально квадрату расстояния. Поэтому при увеличении расстояния в 2 раза сила становится в 4 раза меньше.
Какое расстояние нужно подставлять в формулу для двух планет?
Для планет, которые можно считать сферически симметричными, берут расстояние между их центрами. Если известен промежуток между поверхностями, к нему нужно прибавить радиусы обеих планет.
Почему мы не замечаем притяжение между обычными предметами?
Массы обычных предметов невелики, а гравитационная постоянная имеет очень маленькое значение. Поэтому сила между ними крайне мала и заметно уступает трению и другим силам вокруг нас.
Одинаковы ли силы, с которыми два тела притягивают друг друга?
Да, силы равны по модулю и направлены в противоположные стороны. Каждая сила приложена к своему телу, поэтому они не уравновешивают друг друга на одном теле.
Можно ли применять закон всемирного тяготения к протяжённым телам?
Можно, если тела имеют сферическую симметрию: тогда их притяжение рассчитывают так, словно вся масса сосредоточена в центре. В других случаях тела часто приближённо считают материальными точками, если их размеры малы по сравнению с расстоянием между ними.
§ 14. Всемирное тяготение
