"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 3 частях)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.; под ред. Орлова В.А. (ч. 1); Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И., под ред. Орлова В.А. (ч. 2); Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Левиев Г.И. (ч. 3)
Всемирное тяготение — взаимное притяжение всех тел, имеющих массу. Оно объясняет падение тел на Землю, движение планет и спутников. Силу притяжения находят по закону F = Gm₁m₂/r²: она зависит от масс тел и расстояния между их центрами. Чем больше массы, тем сильнее притяжение, а при увеличении расстояния сила быстро уменьшается — пропорционально квадрату расстояния.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сила всемирного тяготения — сила взаимного притяжения любых тел, имеющих массу. Она приложена к каждому из взаимодействующих тел и направлена вдоль линии, соединяющей их центры, к другому телу. Это понятие описывает гравитационное взаимодействие Земли, планет, спутников и обычных предметов.
Закон всемирного тяготения утверждает: сила притяжения двух тел прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между центрами. Закон позволяет не только сравнивать силы, но и вычислять их численное значение. Он применим к огромному числу явлений — от падения тел до движения небесных объектов.
Гравитационная постоянная G — коэффициент в формуле тяготения, одинаковый для всех тел: G ≈ 6,67 · 10⁻¹¹ Н·м²/кг². Её очень малое значение показывает, почему притяжение небольших предметов почти незаметно. Единица Н·м²/кг² обеспечивает получение силы в ньютонах.
Расстояние между центрами тел обозначают буквой r. Для протяжённых тел отсчитывают именно его, потому что притяжение распределено по всему объёму, а для симметричных тел действие можно заменить действием массы, сосредоточенной в центре. Это делает расчёт единственным и удобным.
Закон записывают так: F = Gm₁m₂/r². Здесь F — модуль силы притяжения, m₁ и m₂ — массы тел, r — расстояние между их центрами, а G — гравитационная постоянная. Произведение масс стоит в числителе, поэтому большие массы создают более сильное взаимодействие. Расстояние находится в знаменателе и ещё возводится в квадрат, поэтому удаление резко ослабляет притяжение.
Каждое тело действует на другое, поэтому возникают две силы: сила, приложенная к первому телу, и сила, приложенная ко второму. По третьему закону Ньютона они равны по модулю, поскольку возникают в одном взаимодействии. Направлены они противоположно вдоль одной прямой, соединяющей тела. Равенство сил не означает равенства ускорений: тело меньшей массы получает большее ускорение, так как a = F/m.
Если одну из масс увеличить в несколько раз, произведение m₁m₂ увеличится во столько же раз. Поэтому сила также возрастёт в это число раз, если остальные величины не меняются. При одновременном изменении обеих масс множители нужно учитывать вместе. Например, увеличение каждой массы в 2 раза увеличивает силу в 4 раза.
Если расстояние увеличить в n раз, в знаменателе получится (nr)² = n²r². Значит, сила уменьшится в n² раз: при увеличении расстояния в 3 раза она станет в 9 раз меньше. Обратная зависимость от квадрата расстояния сильнее, чем обычная обратная пропорциональность. Именно поэтому на больших расстояниях притяжение быстро ослабевает.
Формулу без дополнительных уточнений применяют к материальным точкам и телам, размеры которых малы по сравнению с расстоянием между ними. Для однородных шаров она также справедлива, если r — расстояние между их центрами. Такой результат связан с симметрией: взаимные действия частей шара в сумме дают тот же эффект, что и действие всей массы из центра. Для тел сложной формы или неоднородных тел потребуется более подробный расчёт.
| Величина или условие | Обозначение | Что означает |
|---|---|---|
| Сила притяжения | F | Модуль силы, с которой тела притягиваются друг к другу; измеряется в Н. |
| Массы тел | m₁, m₂ | Массы взаимодействующих тел; измеряются в кг. |
| Расстояние между центрами | r | Расстояние от центра одного тела до центра другого; измеряется в м. |
| Гравитационная постоянная | G | Коэффициент закона тяготения: G ≈ 6,67 · 10⁻¹¹ Н·м²/кг². |
| Зависимость силы от масс | F ∝ m₁m₂ | Увеличение одной массы в n раз увеличивает силу в n раз. |
| Зависимость силы от расстояния | F ∝ 1/r² | Увеличение расстояния в n раз уменьшает силу в n² раз. |
Сначала определите, какие величины известны в задаче, и приведите их к единицам СИ. Затем выберите строку с нужной зависимостью или подставьте данные в формулу. По таблице удобно проверить, не перепутаны ли обозначения, единицы и направление изменения силы.
Даны массы m₁ = 2 кг и m₂ = 3 кг, расстояние r = 1 м. Требуется найти силу их притяжения, используя G = 6,67 · 10⁻¹¹ Н·м²/кг².
Ответ: F ≈ 4,0 · 10⁻¹⁰ Н. Сила крайне мала, поэтому притяжение таких тел в быту не ощущается.
Расстояние между телами увеличили в 3 раза, а массы оставили прежними. Нужно определить, как изменилась сила, не находя её первоначальное значение.
Ответ: сила уменьшилась в 9 раз. Делить на 3 было бы неверно, потому что расстояние входит в формулу в квадрате.
Найдём силу притяжения Земли к телу массой m = 10 кг. Возьмём массу Земли M = 5,97 · 10²⁴ кг, радиус Земли R = 6,37 · 10⁶ м и G = 6,67 · 10⁻¹¹ Н·м²/кг².
Ответ: сила притяжения примерно равна 98 Н. Это согласуется с приближённой формулой F = mg при g ≈ 9,8 м/с².
Подставляют расстояние от поверхности одного тела до другого вместо расстояния между центрами. Ошибка возникает, когда размеры тел не учитывают или мысленно измеряют ближайший промежуток между ними. Проверьте, можно ли считать тела точками; для шаров отложите r от центра до центра.
Считают, что при увеличении расстояния в 2 раза сила уменьшается в 2 раза. Так происходит из-за забытого квадрата в знаменателе. Запишите отношение F₂/F₁ = (r₁/r₂)² и получите уменьшение в 4 раза.
Забывают возвести расстояние в квадрат или возводят в квадрат произведение масс. В формуле квадрат относится только к r, а массы входят обычным произведением. Перед вычислением поставьте скобки вокруг знаменателя: F = Gm₁m₂/(r²).
Полагают, что сила Земли на тело и сила тела на Землю различны по модулю. Они приложены к разным телам, но по третьему закону Ньютона равны и противоположны. Если получились разные силы, значит, сравнивают силу с ускорением или неверно применили закон.
Для применения закона нужны понятия массы, силы, расстояния и единиц СИ. Направление двух гравитационных сил и их равенство по модулю связаны с третьим законом Ньютона. Эти знания помогают правильно записать формулу и проверить результат.
Закон всемирного тяготения объясняет движение планет, искусственных спутников и падение тел. Если приравнять силу тяготения к ma, можно получить ускорение свободного падения у поверхности Земли. Так связываются небесная механика и механика земных явлений.
Почему сила тяготения обычно незаметна между небольшими предметами?
Массы обычных предметов невелики, а гравитационная постоянная G очень мала. Поэтому сила их взаимного притяжения обычно намного меньше сил трения, упругости и сопротивления воздуха.
Почему в формуле расстояние нужно возводить в квадрат?
Такую зависимость показывает закон всемирного тяготения: влияние тела распространяется во все стороны, поэтому при удалении оно ослабевает по закону обратных квадратов. Из-за этого увеличение расстояния в 2 раза уменьшает силу в 4 раза.
Какое расстояние подставлять для тел, размеры которых нельзя считать малыми?
Для однородных шаров в формулу подставляют расстояние между их центрами. Если тела имеют сложную форму или неоднородную плотность, простую формулу нельзя применять без дополнительных условий.
Почему Земля и тело притягивают друг друга с одинаковой силой?
По третьему закону Ньютона силы взаимодействия двух тел равны по модулю и противоположны по направлению. Масса тела и масса Земли влияют на одну и ту же силу, хотя ускорения тел различны из-за различия их масс.
Как по закону всемирного тяготения объяснить движение спутника вокруг Земли?
Земля притягивает спутник, и сила направлена к центру Земли. Эта сила играет роль центростремительной и постоянно изменяет направление скорости спутника, поэтому он движется по орбите, а не улетает по прямой.
§ 14. Всемирное тяготение
