"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 3 частях)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.; под ред. Орлова В.А. (ч. 1); Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И., под ред. Орлова В.А. (ч. 2); Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Левиев Г.И. (ч. 3)
Закон всемирного тяготения описывает притяжение любых двух тел. Он связывает силу взаимодействия с массами тел и расстоянием между их центрами: чем больше массы, тем сильнее притяжение, а чем дальше тела, тем оно слабее. Закон нужен для расчёта движения планет, спутников и тел у поверхности Земли. Главная формула — F = Gm₁m₂/r².
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Закон всемирного тяготения утверждает: любые два тела притягиваются друг к другу. Сила прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между центрами. Закон позволяет рассчитывать гравитационное взаимодействие планет, спутников и обычных тел.
Гравитационная сила — сила взаимного притяжения тел, направленная вдоль прямой, соединяющей их центры. Она действует на каждое из тел и стремится сблизить их. Обозначают эту силу обычно буквой F, а её единица в СИ — ньютон.
Гравитационная постоянная G — коэффициент в формуле закона всемирного тяготения. Её значение приблизительно равно 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг². Это очень маленькое число объясняет, почему притяжение между предметами обычной массы почти незаметно.
Расстояние между телами в законе тяготения — расстояние между их центрами, а для точечных тел — расстояние между ними. Точечным считают тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстоянием до другого тела. Такой выбор расстояния нужен, чтобы формула правильно описывала взаимодействие всего тела.
Гравитационное взаимодействие проявляется тем, что тела действуют друг на друга силами притяжения. Эти силы возникают одновременно, потому что нельзя, чтобы одно тело притягивало другое без ответного действия. По третьему закону Ньютона силы равны по модулю и противоположны по направлению, поэтому они приложены к разным телам и не уничтожают друг друга.
Формула F = Gm₁m₂/r² показывает, как читать зависимости между величинами. Если увеличить одну массу в несколько раз, сила возрастёт во столько же раз: большее количество вещества создаёт более сильное гравитационное действие. Расстояние стоит в знаменателе и возведено в квадрат, поэтому удаление ослабляет притяжение особенно быстро: при увеличении r в 3 раза сила уменьшается в 9 раз.
Расстояние берут между центрами потому, что для сферически симметричных тел внешнее гравитационное действие такое же, как если бы вся масса находилась в центре. Поэтому планету или шар можно заменить точечным телом, если рассматриваемая точка находится вне него. Для тела сложной формы такое упрощение может быть неточным, поскольку разные части тела находятся на разных расстояниях и вносят разный вклад в силу.
При расчётах у поверхности Земли одним телом считают Землю с массой M, а другим — рассматриваемое тело с массой m. Расстояние от тела до центра Земли почти равно радиусу Земли R, поэтому F = GMm/R². Если разделить эту силу на массу тела, получится ускорение свободного падения g = GM/R²; близ поверхности Земли оно примерно равно 9,8 м/с².
Сравнить силы можно без нахождения их численных значений, если составить отношение формул. Например, при неизменных массах F₂/F₁ = r₁²/r₂², а при изменении только одной массы отношение сил равно отношению новых и старых масс. Такой способ удобен, когда требуется узнать, во сколько раз изменилась сила, а не найти её в ньютонах.
| Характеристика | Обозначение или зависимость | Смысл |
|---|---|---|
| Сила притяжения | F = Gm₁m₂/r² | Мера гравитационного взаимодействия тел, измеряется в ньютонах. |
| Массы взаимодействующих тел | m₁, m₂ | Входят в числитель: увеличение любой массы усиливает силу. |
| Расстояние между центрами тел | r | Входит в знаменатель в квадрате и уменьшает силу при увеличении. |
| Гравитационная постоянная | G ≈ 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг² | Одинаковый коэффициент, связывающий массы, расстояние и силу. |
| Зависимость силы от массы | F ∝ m₁ и F ∝ m₂ | Сила прямо пропорциональна каждой массе отдельно. |
| Зависимость силы от расстояния | F ∝ 1/r² | Сила обратно пропорциональна квадрату расстояния. |
Сначала определите, какие величины известны в условии, и выберите нужную строку таблицы. Если меняются только массы или расстояние, можно использовать зависимости и отношения сил без полного вычисления. Для подстановки в формулу все значения переведите в единицы СИ.
Тела имеют массы m₁ = 2 кг и m₂ = 3 кг, а расстояние между ними r = 1 м. Требуется найти силу их притяжения. Данные уже записаны в единицах СИ, поэтому дополнительный перевод не нужен.
Ответ: F ≈ 4,0·10⁻¹⁰ Н. Получившееся очень малое значение показывает, почему притяжение двух небольших предметов мы обычно не ощущаем.
Расстояние между телами увеличили в 3 раза, а массы оставили прежними. Нужно определить, во сколько раз изменилась сила, поэтому вычислять её исходное значение не требуется. Используем зависимость F ∝ 1/r².
Ответ: сила уменьшится в 9 раз. В задачах на изменение величин особенно важно возводить коэффициент изменения расстояния в квадрат.
Известны сила F, масса одного тела m₁ и расстояние r, а массу второго тела m₂ нужно найти. Начинаем с основной формулы и освобождаем неизвестную массу от умножения и деления. Все исходные данные перед подстановкой должны быть выражены в СИ.
Ответ: неизвестную массу находят по формуле m₂ = Fr²/(Gm₁). Проверка размерности помогает заметить ошибку в преобразовании или переводе единиц.
Расстояние между поверхностями вместо центров. Так поступают, потому что именно поверхности видны и измеряются проще. Для шаров нужно прибавить радиусы до центра, а затем проверить, что в формулу подставлено расстояние между центрами.
Забывают квадрат расстояния. Ошибка возникает при механической подстановке в формулу или при переносе её в вычисления. Перед счётом перепишите знаменатель как r² и отдельно вычислите квадрат расстояния.
Считают, что при увеличении расстояния вдвое сила уменьшается вдвое. Так бывает, если не учитывать показатель степени у r. Подставьте 2r в зависимость: (2r)² = 4r², значит сила станет в четыре раза меньше.
Считают взаимные силы различными. Иногда путают величину силы с её направлением или думают, что более массивное тело действует сильнее. По третьему закону Ньютона силы равны по модулю, противоположны и приложены к разным телам.
Для изучения закона нужны понятия силы, массы, расстояния и третий закон Ньютона. Они помогают правильно определить физические величины и направление взаимодействия. Без этих основ трудно понять, почему действие тел всегда взаимно.
Закон применяют при объяснении движения планет и спутников: гравитация удерживает их на орбитах. При рассмотрении тела у поверхности Земли он приводит к формуле ускорения свободного падения g = GM/R². Поэтому закон связывает небесную механику с обычным падением тел.
Почему мы не замечаем притяжение между обычными предметами?
Гравитационная постоянная G очень мала, поэтому притяжение предметов обычной массы крайне слабое. Оно становится заметным, если хотя бы одно из тел имеет огромную массу, как Земля или Солнце.
Как определить расстояние между телами для подстановки в формулу?
Для точечных тел берут расстояние между ними, а для шарообразных тел — между их центрами. Если тела соприкасаются, это расстояние равно сумме их радиусов.
Что произойдёт с силой, если увеличить одну из масс вдвое?
Сила притяжения увеличится вдвое, если остальные величины не меняются. Это следует из прямой пропорциональности силы каждой из масс.
Почему при увеличении расстояния вдвое сила уменьшается в четыре раза?
Расстояние входит в знаменатель формулы в квадрате. Поэтому при r → 2r знаменатель увеличивается в 2² = 4 раза, а сила становится в четыре раза меньше.
Можно ли применять закон всемирного тяготения к телам, размеры которых нельзя считать пренебрежимо малыми?
Да, если тела имеют сферическую симметрию, например являются шарами, и рассматриваются вне их. В этом случае можно считать, что вся масса каждого тела сосредоточена в его центре. Для тел сложной формы такой подход требует осторожности.
1. Закон всемирного тяготения
