§ 16 Ускорение свободного падения на Земле и других небесных телах

Определения и обозначения

Ускорение свободного падения — это ускорение, которое приобретает тело под действием притяжения небесного тела. Его обозначают буквой g и измеряют в метрах на секунду в квадрате, то есть в м/с². Величина нужна, чтобы описывать падение тел и находить их скорость или силу тяжести.

Гравитационная постоянная G — физическая постоянная, одинаковая для всех тел во Вселенной в рамках закона всемирного тяготения. Её значение примерно равно 6,67 · 10⁻¹¹ Н·м²/кг². Она связывает массы взаимодействующих тел и расстояние между ними с силой их притяжения.

Масса небесного тела M — количество вещества в планете, звезде или спутнике, создающее его притяжение. Радиус R — расстояние от центра этого тела до его поверхности. Эти величины нужны в формуле g = GM/R²: M характеризует силу притяжения, а R показывает, насколько далеко от центра находится поверхность.

Как это устроено

По закону всемирного тяготения тело массой m притягивается небесным телом массой M с силой F = GMm/R², если тело находится на расстоянии R от его центра. С другой стороны, сила тяжести равна Fтяж = mg. Приравняем эти выражения: mg = GMm/R². После сокращения на массу падающего тела m получаем g = GM/R².

Из формулы видно, что при одинаковом радиусе увеличение массы небесного тела во столько же раз увеличивает g. Более массивное тело сильнее притягивает находящийся рядом предмет. Поэтому масса падающего предмета в итоговую формулу не входит: тяжёлый и лёгкий предмет получают одно и то же ускорение, если не учитывать сопротивление воздуха.

Радиус стоит в знаменателе и возводится в квадрат, поэтому его увеличение уменьшает ускорение свободного падения. Например, если радиус при той же массе увеличить в два раза, g станет в четыре раза меньше. На больших планетах масса может быть огромной, но большой радиус частично ослабляет притяжение у поверхности.

На Земле g примерно равно 9,8 м/с², на Луне — около 1,6 м/с², на Марсе — около 3,7 м/с², а на Юпитере — около 24,8 м/с². Различия объясняются разными массами и радиусами этих тел. Формула g = GM/R² относится к поверхности, где расстояние до центра равно R; на высоте h нужно брать расстояние R + h.

Ускорение свободного падения у поверхности небесных тел

Таблица позволяет сравнить не только готовые значения g, но и причины их различий: массу и радиус небесного тела. Если нужно оценить ускорение самостоятельно, подставьте данные строки в формулу g = GM/R². Значения округлены, поэтому небольшой отличий от точного результата ожидать нормально.

Разбор задач

Задача 1

Найти силу тяжести, действующую на тело массой 2 кг у поверхности Земли, если g = 9,8 м/с². Здесь известно ускорение, а требуется сила, поэтому применяем формулу Fтяж = mg. Масса тела равна 2 кг, а не масса Земли.

1. Записываем формулу: Fтяж = mg.
2. Подставляем значения: Fтяж = 2 кг · 9,8 м/с².
3. Получаем Fтяж = 19,6 Н, так как кг·м/с² — это ньютон.

Ответ: сила тяжести равна 19,6 Н. Если в задаче взять g = 10 м/с², приближённый ответ составит 20 Н.

Задача 2

На Луне ускорение свободного падения равно 1,6 м/с², а на Земле — 9,8 м/с². Чтобы узнать, во сколько раз лунное ускорение меньше земного, нужно разделить большее значение на меньшее. Такой результат показывает не разность, а именно кратность.

1. Записываем отношение: 9,8/1,6.
2. Выполняем деление: 9,8 : 1,6 = 6,125.
3. Округляем результат до разумной точности: примерно 6,1.

Ответ: ускорение свободного падения на Луне примерно в 6,1 раза меньше земного. Разность значений 8,2 м/с² отвечала бы на другой вопрос.

Задача 3

Планета имеет массу M = 6 · 10²⁴ кг и радиус R = 6 · 10⁶ м. Используем формулу для поверхности g = GM/R², потому что расстояние от центра до поверхности равно радиусу. Все данные уже записаны в единицах СИ.

1. Возводим радиус в квадрат: R² = (6 · 10⁶)² = 3,6 · 10¹³ м².
2. Находим произведение GM: 6,67 · 10⁻¹¹ · 6 · 10²⁴ = 4,002 · 10¹⁴.
3. Делим: g = 4,002 · 10¹⁴ / 3,6 · 10¹³ ≈ 11,1 м/с².

Размерность получается м/с², что соответствует ускорению. Ответ: ускорение свободного падения примерно равно 11,1 м/с².

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что g одинаково на всех небесных телах. Её допускают, запоминая только земное значение 9,8 м/с² и забывая о массе и радиусе тела. Проверьте себя: сравните условия и используйте g = GM/R².

Ошибка: подставлять радиус вместо расстояния до центра в любой ситуации. На поверхности эти величины совпадают, но на высоте h расстояние равно R + h. Проверьте положение тела перед выбором формулы.

Ошибка: путать массу падающего тела с массой небесного тела. В формуле g = GM/R² буква M означает массу планеты или другого притягивающего тела, а масса предмета сокращается при выводе. Проверьте обозначения в условии и формуле.

Ошибка: считать число 9,8 м/с² силой тяжести в ньютонах. Это ускорение, а силу находят умножением Fтяж = mg. Проверьте единицу ответа: ускорение измеряется в м/с², сила — в Н.

Связь с другими темами

Для понимания этого материала нужны закон всемирного тяготения и формула силы тяжести Fтяж = mg. Закон объясняет происхождение притяжения, а формула силы тяжести связывает ускорение свободного падения с массой конкретного тела.

Знание g пригодится при изучении движения тел под действием силы тяжести, веса тела и движения искусственных спутников. В задачах о спутниках особенно важно учитывать расстояние до центра планеты, а не только высоту над поверхностью.

Что запомнить

• Ускорение свободного падения обозначают g и измеряют в м/с².
• У поверхности небесного тела g = GM/R².
• Чем больше масса небесного тела при том же радиусе, тем больше g.
• Чем больше радиус небесного тела при той же массе, тем меньше g.
• У поверхности Земли g ≈ 9,8 м/с²; в приближённых расчётах часто используют 10 м/с².
• Ускорение свободного падения на Луне значительно меньше, чем на Земле.