§ 14 Движение тела, брошенного вертикально вверх. Невесомость

Определения и обозначения

Движение тела, брошенного вертикально вверх, — движение под действием силы тяжести после сообщения телу начальной скорости, если сопротивлением воздуха пренебречь. После броска рука уже не поддерживает тело, и его движение определяется главным образом притяжением Земли. Это определение позволяет применять формулы равноускоренного движения.

Ускорение свободного падения g — ускорение тела под действием силы тяжести; оно направлено вертикально вниз и у поверхности Земли примерно равно 9,8 м/с². В задачах для удобства часто берут g = 10 м/с². Зная направление и величину g, можно описать, как меняется скорость тела.

Вес тела — сила, с которой тело вследствие притяжения к Земле действует на опору или подвес. Например, книга давит на стол, а груз натягивает подвес. Вес важно отличать от силы тяжести: сила тяжести действует на тело, а вес приложен к опоре или подвесу.

Невесомость — состояние, при котором вес тела равен нулю, хотя сила тяжести на тело продолжает действовать. Тело не давит на опору, потому что оно и опора свободно падают вместе. Это понятие объясняет, почему человек может ощущать себя невесомым в падающем лифте или космическом корабле на орбите.

Как это устроено

Когда мяч покидает руку, толчок больше не действует на него, но притяжение Земли никуда не исчезает. Если сопротивлением воздуха можно пренебречь, сила тяжести остаётся единственной значимой силой, а значит, ускорение тела постоянно. Оно направлено вниз и равно g независимо от того, поднимается тело или падает. Именно поэтому направление движения и направление ускорения могут различаться.

Чтобы записать движение, удобно направить вертикальную ось вверх и считать координату y положительной в этом направлении. Тогда начальная скорость v₀ направлена по положительной оси, а ускорение имеет проекцию −g. Формулы получаются такими: v = v₀ − gt и y = y₀ + v₀t − gt²/2. Знак минус показывает, что скорость меняется под действием ускорения, направленного противоположно выбранной оси.

Во время подъёма скорость направлена вверх, но ускорение — вниз, поэтому модуль скорости уменьшается. В наивысшей точке тело на одно мгновение перестаёт подниматься, и его скорость равна нулю. Затем ускорение продолжает менять скорость: она становится направленной вниз и возрастает по модулю. Нулевой становится только скорость в отдельный момент, а не ускорение.

Время подъёма можно найти из формулы скорости, положив v = 0: 0 = v₀ − gt, откуда t = v₀/g. Если начало отсчёта высоты выбрать в точке броска, максимальный подъём составит h = v₀t − gt²/2, или h = v₀²/(2g). При возвращении на начальную высоту движение симметрично по времени: спуск занимает столько же, сколько подъём, поэтому полное время равно 2v₀/g.

При свободном падении вместе с опорой оба тела ускоряются вниз одинаково. Опора не успевает поддерживать падающее тело, и тело не давит на неё, поэтому вес равен нулю. Сила тяжести при этом сохраняется: именно она ускоряет и тело, и опору. Так возникает невесомость, например, у космонавта и корабля, которые движутся вокруг Земли под действием её притяжения.

Изменение движения и веса тела

Сначала по ситуации определите, как направлена скорость, а затем отдельно установите направление ускорения: при таком движении оно всегда вниз. В строке о невесомости смотрите не на наличие притяжения, а на давление тела на опору. Таблица помогает не смешивать скорость, ускорение и вес — это разные физические величины.

Разбор задач

Задача 1. Мяч бросили вертикально вверх со скоростью 10 м/с. Найдите скорость через 0,5 с после броска. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 10 м/с².

1. Выберем ось вверх, поэтому начальная скорость v₀ = 10 м/с положительна, а ускорение направлено против оси.
2. Запишем формулу v = v₀ − gt и подставим значения: v = 10 − 10 · 0,5 = 5 м/с.
3. Получилось положительное значение, значит, мяч ещё движется вверх. Ответ: 5 м/с вверх.

Задача 2. Камень бросили вертикально вверх со скоростью 20 м/с. Найдите время подъёма и максимальную высоту, если g = 10 м/с².

1. В наивысшей точке скорость равна нулю. Из уравнения 0 = v₀ − gt находим t = v₀/g = 20/10 = 2 с.
2. Теперь найдём перемещение за это время: h = v₀t − gt²/2. Подставляем данные: h = 20 · 2 − 10 · 2²/2 = 40 − 20 = 20 м.
3. Полученная высота отсчитывается от места броска. Ответ: время подъёма 2 с, максимальный подъём 20 м.

Задача 3. Тело бросили вверх со скоростью 15 м/с с высоты 20 м над землёй. Через какое время оно достигнет земли? Принять g = 10 м/с².

1. Направим ось вверх, приняв уровень земли за y = 0. Тогда начальная координата y₀ = 20 м, а уравнение движения имеет вид y = 20 + 15t − 5t².
2. При достижении земли координата равна нулю: 20 + 15t − 5t² = 0. Разделим уравнение на −5: t² − 3t − 4 = 0.
3. Корни уравнения — t = 4 с и t = −1 с. Отрицательное время описывало бы момент до броска, поэтому выбираем положительный корень. Ответ: тело достигнет земли через 4 с.

Типичные ошибки

• Считать ускорение в наивысшей точке нулевым. Путают скорость и ускорение, потому что тело на мгновение перестаёт подниматься. Проверьте себя: сила тяжести не исчезла, поэтому ускорение и там равно g и направлено вниз.
• Менять направление ускорения при переходе от подъёма к падению. Кажется, что ускорение должно совпадать с движением тела. Но без сопротивления воздуха ускорение задаёт сила тяжести и всё время направлено вниз; сверяйте его с выбранной осью, а не со скоростью.
• Отождествлять вес с силой тяжести. Их часто считают одним и тем же, поскольку в обычных условиях они могут быть равны по модулю. Проверка проста: сила тяжести действует на тело, а вес — это действие тела на опору или подвес.
• Считать, что при невесомости сила тяжести исчезает. Так думают, видя, что тело не давит на опору. В действительности тело и опора падают вместе; проверьте, какая сила вызывает их ускорение: притяжение Земли продолжает действовать.

Связь с другими темами

Для решения задач о вертикальном броске нужны понятия скорости, ускорения и перемещения, а также формулы равноускоренного движения. График высоты показывает, как тело сначала поднимается, а затем опускается, и помогает связать координату со временем. Эти знания пригодятся при изучении свободного падения и движения спутников. Понятие веса и невесомости помогает объяснить ощущения космонавтов и перегрузки при ускоренном движении.

Что запомнить

• При пренебрежении сопротивлением воздуха ускорение тела постоянно и направлено вниз.
• При выборе оси вверх v = v₀ − gt.
• Координата тела меняется по закону y = y₀ + v₀t − gt²/2.
• В наивысшей точке скорость равна нулю, но ускорение равно g и направлено вниз.
• Время подъёма до наивысшей точки равно v₀/g.
• Невесомость означает нулевой вес, а не отсутствие силы тяжести.