§ 71. Работа сил электростатического поля. Потенциал и разность потенциалов

Определения и обозначения

Работа сил электростатического поля — энергия, переданная полем заряду или полученная от заряда при его перемещении. В однородном поле она равна A = qEd cos α, где q — заряд, E — напряжённость, d — перемещение, а α — угол между перемещением и направлением поля. Формула позволяет определить не всю длину пути, а вклад перемещения вдоль поля.

Потенциальная энергия заряда — энергия, зависящая от положения заряда в электростатическом поле. Её значение определяют относительно выбранного нулевого уровня, поэтому сама энергия может измениться при смене этого уровня. Эта величина нужна, чтобы связать положение заряда с работой поля.

Потенциал φ — потенциальная энергия единичного положительного заряда в данной точке: φ = Eп/q. Единица потенциала в СИ — вольт (В), причём 1 В = 1 Дж/Кл. Потенциал характеризует энергетическое состояние одной точки поля.

Разность потенциалов между начальной и конечной точками равна U = φ₁ − φ₂. Она связана с работой поля формулой A = qU и показывает работу по перемещению единичного положительного заряда. В отличие от потенциала, напряжение относится сразу к двум точкам.

Как это устроено

В однородном поле на заряд действует постоянная сила F = qE по модулю. Работа постоянной силы равна произведению силы, перемещения и косинуса угла между ними: A = Fd cos α. Подставляя F = qE, получаем A = qEd cos α: при α = 0 работа максимальна, при α = 90° она равна нулю, потому что перемещение поперёк поля не меняет положения заряда вдоль силовых линий.

Работа электростатического поля не зависит от формы траектории, поскольку электростатическое поле потенциально. Если заряд переместить по разным путям между одними и теми же точками, вклад участков пути складывается в одну и ту же разность потенциальных энергий. Поэтому на замкнутой траектории, где начальная и конечная точки совпадают, работа равна нулю.

Работа поля связана с потенциальной энергией так: A = −ΔEп. Потенциал вводят делением потенциальной энергии на заряд, поэтому он зависит от выбранного нулевого уровня энергии. Если ко всем потенциалам прибавить одну и ту же величину, их разность не изменится, поэтому именно разность потенциалов имеет непосредственный физический смысл и определяет работу.

Для перемещения заряда из точки 1 в точку 2 работа равна A = q(φ₁ − φ₂) = qU. Положительный заряд при движении от большего потенциала к меньшему имеет положительную работу поля и теряет потенциальную энергию. Для отрицательного заряда знак работы меняется при том же перемещении, поскольку сила направлена противоположно электрическому полю.

Положительный пробный заряд самопроизвольно движется в направлении силы, то есть от большего потенциала к меньшему. В однородном поле разность потенциалов пропорциональна продольному расстоянию между точками: по модулю U = Ed. Здесь d — расстояние именно вдоль направления поля, потому что только такая часть перемещения участвует в работе.

Работа, потенциальная энергия, потенциал и разность потенциалов

Таблица помогает выбрать нужную величину по условию задачи. Сначала определите, описывается ли одна точка или перемещение между двумя точками, затем проверьте заряд и направление движения. Формулу для однородного поля применяют, когда напряжённость постоянна.

Разбор задач

Задача 1

Заряд q = 2 мкКл перемещают в поле E = 3·10⁴ Н/Кл на расстояние d = 0,2 м по направлению сил поля. Требуется найти работу поля. Поскольку движение направлено вдоль поля, α = 0 и cos α = 1.

1. Переведём заряд: q = 2·10⁻⁶ Кл.
2. Используем A = qEd: A = 2·10⁻⁶ · 3·10⁴ · 0,2 Дж.
3. Получаем A = 1,2·10⁻² Дж.

Ответ: работа поля равна 0,012 Дж. Она положительна, потому что перемещение положительного заряда совпадает с направлением силы.

Задача 2

Положительный заряд q = 5 мкКл перемещают между точками с разностью потенциалов 400 В. Будем считать, что он движется от точки с большим потенциалом к точке с меньшим, то есть по направлению поля. Тогда напряжение в формуле A = qU берём положительным.

1. Переводим заряд: q = 5·10⁻⁶ Кл.
2. Находим работу: A = qU = 5·10⁻⁶ · 400 = 2·10⁻³ Дж.
3. Используем ΔEп = −A и получаем ΔEп = −2·10⁻³ Дж.

Ответ: A = 0,002 Дж, а потенциальная энергия уменьшилась на 0,002 Дж. При перемещении в обратную сторону знаки работы и изменения энергии поменялись бы на противоположные.

Задача 3

Пусть точечный источник имеет заряд Q, пробный заряд равен q, а расстояния от источника до начальной и конечной точек составляют r₁ и r₂. Численные данные в условии не заданы, поэтому решение запишем в общем виде. Потенциал точечного заряда равен φ = kQ/r.

1. Находим потенциалы точек: φ₁ = kQ/r₁ и φ₂ = kQ/r₂.
2. Вычисляем работу: A = q(φ₁ − φ₂) = kqQ(1/r₁ − 1/r₂).
3. Если источников два, складываем их потенциалы в каждой точке: φ₁ = kQ₁/r₁₁ + kQ₂/r₁₂ и φ₂ = kQ₁/r₂₁ + kQ₂/r₂₂.

Ответ для двух источников: A = q(φ₁ − φ₂). Потенциалы складываются алгебраически, поэтому отрицательные заряды источников учитываются со своим знаком.

Типичные ошибки

Длину всей траектории подставляют вместо проекции перемещения на направление поля. Так происходит, когда забывают об угле α в формуле A = qEd cos α. Проверьте себя: если путь перпендикулярен полю, работа должна быть нулевой.

Считают, что работа зависит от формы траектории, хотя электростатическое поле потенциально. Ошибку помогает обнаружить проверка начальной и конечной точек: при одинаковых концах работа одинакова для любого пути. На замкнутом пути она равна нулю.

Путают потенциал и разность потенциалов. Потенциал относится к одной точке и зависит от нулевого уровня, а напряжение соединяет две точки. Перед вычислением выпишите, сколько точек участвует в условии.

Неверно определяют знак работы или изменения энергии. Причина обычно в забытом соотношении ΔEп = −A или в игнорировании знака заряда. Проверьте направление силы, знак q и согласуйте результат с тем, увеличивается или уменьшается потенциальная энергия.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны закон Кулона, напряжённость электрического поля, работа постоянной силы и потенциальная энергия. Эти понятия объясняют, откуда берутся сила, направление движения и формула работы.

Потенциал и напряжение понадобятся при изучении электрического тока, источников тока, конденсаторов и электрических цепей. В этих темах напряжение связывает энергетические изменения с переносом заряда.

Связь A = qU используется для объяснения ускорения заряженных частиц в электрических полях. Уменьшение потенциальной энергии может переходить в кинетическую энергию частицы.

Что запомнить

• Работа электростатического поля в однородном поле равна A = qEd cos α.
• Работа электростатического поля не зависит от траектории перемещения.
• Работа поля по замкнутой траектории равна нулю.
• Потенциал равен потенциальной энергии единичного положительного заряда: φ = Eп/q.
• Работа поля при перемещении заряда равна A = q(φ₁ − φ₂) = qU.
• В однородном поле по модулю U = Ed.
• Положительный заряд движется самопроизвольно в сторону уменьшения потенциала.