§ 70. Теорема Гаусса

Определения и обозначения

Поток вектора напряжённости электрического поля — величина, характеризующая прохождение поля через поверхность. Для малого участка dФ = E·dS·cos α, где E — напряжённость, dS — площадь участка, α — угол между полем и нормалью к нему. Поток нужен, чтобы оценивать поле сразу через поверхность, а не в одной точке.

Замкнутая поверхность ограничивает объём и не имеет края, например сфера. Поток через неё считают с нормалью, направленной наружу, поэтому входящее поле даёт отрицательный вклад, а выходящее — положительный. Такое соглашение позволяет сравнивать вклад линий поля в разных частях поверхности.

Гауссова поверхность — мысленно выбранная замкнутая поверхность для расчёта электрического поля. Её не нужно искать в реальном устройстве: форму выбирают так, чтобы учесть симметрию и упростить вычисления. Например, вокруг точечного заряда удобно взять сферу.

Теорема Гаусса утверждает: поток напряжённости через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов внутри неё, делённой на ε₀: Ф = qвнутр / ε₀. Здесь ε₀ — электрическая постоянная. Теорема связывает поведение поля на границе объёма с зарядом в этом объёме.

Как это устроено

Вклад малого участка зависит от площади: чем она больше, тем больше поля может пройти через неё. Но важна и ориентация участка: максимально поле пересекает его, когда направлено вдоль нормали, а при движении вдоль самой поверхности поток равен нулю. Поэтому в формуле стоит cos α, учитывающий только составляющую E, перпендикулярную поверхности.

Чтобы получить поток через всю поверхность, складывают вклады всех её малых участков. Для сложной формы таких участков можно мысленно взять сколь угодно много, а сумму представить интегралом: Ф = ∮ E·dS. Знак каждого вклада зависит от направления поля относительно нормали. У замкнутой поверхности это соглашение едино: нормаль везде направлена наружу.

Заряд внутри поверхности служит источником или стоком линий поля: от положительного заряда линии выходят, а к отрицательному входят. Поэтому они пересекают границу с ненулевым итоговым балансом, и возникает суммарный поток. У внешнего заряда линии, попавшие внутрь замкнутой поверхности, должны снова пересечь её, чтобы выйти; вход и выход компенсируются.

Знак потока показывает знак суммарного заключённого заряда: положительный заряд даёт положительный поток, отрицательный — отрицательный. Если внутри несколько зарядов, их складывают с учётом знаков, поскольку потоки от них тоже складываются. Так получается алгебраическая сумма qвнутр, а не сумма модулей зарядов.

Теорема задаёт поток, но для нахождения E нужно связать его с напряжённостью на поверхности. При симметрии можно выбрать гауссову поверхность, где E постоянно или поле перпендикулярно поверхности, и вынести E из расчёта. Например, у точечного заряда сферическая симметрия делает напряжённость одинаковой во всех точках сферы. Без такой симметрии известный поток сам по себе не определяет поле в каждой точке.

Поток электрического поля через поверхности и теорема Гаусса

Сначала определите, открыта поверхность или замкнута, а затем выясните, какие заряды находятся внутри неё. Для замкнутой поверхности применяйте теорему Гаусса и учитывайте знаки зарядов. Если нужно найти E, проверьте, позволяет ли симметрия выразить поток через напряжённость.

Разбор задач

Точечный заряд внутри сферы

Условие. Точечный заряд q находится в центре сферической поверхности радиуса R. Найти полный поток вектора напряжённости через сферу. Сфера замкнута и содержит заряд q, поэтому подходит непосредственно для применения теоремы Гаусса. Радиус понадобится для вычисления поля в точках, но не полного потока.

1. Записываем теорему Гаусса для замкнутой поверхности: Ф = qвнутр / ε₀.
2. Внутри сферы находится только заряд q, значит qвнутр = q.
3. Подставляем его в формулу: Ф = q/ε₀; величина не зависит от R.

Ответ: Ф = q/ε₀. Если q отрицателен, поток тоже отрицателен относительно наружной нормали.

Заряды внутри и снаружи поверхности

Условие. Внутри замкнутой поверхности находятся заряды q₁ и q₂, а снаружи — заряд q₃. Требуется найти полный поток. Сначала отделяем заряды, заключённые поверхностью, от внешних: в теорему войдёт только первая группа. Знаки q₁ и q₂ сохраняются.

1. Находим алгебраическую сумму внутренних зарядов: qвнутр = q₁ + q₂.
2. Применяем теорему Гаусса: Ф = (q₁ + q₂)/ε₀.
3. Заряд q₃ не включаем: его линии дают равные по модулю входящий и выходящий вклады в полный поток.

Ответ: Ф = (q₁ + q₂)/ε₀. Если q₁ и q₂ разных знаков, их нужно складывать алгебраически, а не складывать модули.

Поле заряженной проводящей сферы

Условие. Проводящая сфера радиуса R имеет заряд Q. Найти напряжённость при r < R и при r > R, где r — расстояние от центра. В электростатическом равновесии избыточный заряд проводника находится на его поверхности, а внутри проводящего материала поле отсутствует. Сферическая симметрия позволяет выбрать концентрические сферические гауссовы поверхности.

1. При r < R гауссова поверхность находится внутри проводника и не охватывает заряд. По теореме Гаусса поток равен нулю; из симметрии следует E = 0.
2. При r > R поверхность охватывает весь заряд Q. Напряжённость везде на сфере одинакова и направлена по нормали, поэтому Ф = E·4πr².
3. Приравниваем этот поток к Q/ε₀: E·4πr² = Q/ε₀. Отсюда E = Q/(4πε₀r²).

Ответ: при r < R напряжённость внутри проводника равна нулю; при r > R её модуль равен Q/(4πε₀r²). Направление поля снаружи — от сферы при Q > 0 и к ней при Q < 0.

Типичные ошибки

Учитывают внешние заряды. Так поступают, когда подставляют в формулу все заряды системы, не проверяя, где они расположены. Но теорема связывает полный поток только с зарядом внутри выбранной замкнутой поверхности. Перед вычислением мысленно отметьте её границу и составьте отдельный список внутренних зарядов.

Применяют теорему к открытой поверхности. Отдельный участок границы не ограничивает объём, поэтому поток через него нельзя приравнять к заряду, делённому на ε₀. Ошибка возникает, когда забывают, что теорема относится к замкнутой поверхности. Проверьте, есть ли у поверхности край; если есть, добавьте недостающие участки и учитывайте их поток.

Сразу находят напряжённость из потока. Теорема сообщает суммарный поток, однако поле может меняться от точки к точке, и тогда одного уравнения недостаточно. Упрощение возможно, если симметрия позволяет считать E постоянной на нужной части поверхности. Для самопроверки спросите себя, почему напряжённость одинакова в каждой точке выбранной гауссовой поверхности.

Теряют знак заряда или нормали. Если складывать модули, заряды противоположных знаков ошибочно дадут положительный итог. Неправильное направление нормали также меняет знак вклада участка. Примите для замкнутой поверхности нормаль наружу и подставляйте каждый заряд со знаком; тогда знак результата должен соответствовать суммарному заряду внутри.

Связь с другими темами

Для работы с теоремой нужны понятия напряжённости поля, закона Кулона и линий напряжённости, а также умение находить площадь и вычислять скалярное произведение векторов. Сама теорема помогает рассчитывать поля сферически, цилиндрически и плоско симметричных распределений зарядов. Она также применяется при изучении поля проводников, конденсаторов и распределения зарядов в электростатике. Чем лучше выражена симметрия системы, тем проще подобрать поверхность и использовать поток для нахождения поля.

Что запомнить

• Поток характеризует прохождение вектора напряжённости через поверхность.
• Для замкнутой поверхности нормаль направляют наружу.
• Поток через замкнутую поверхность определяется только суммарным зарядом внутри неё.
• Заряды вне поверхности не изменяют полный поток через неё.
• Ф = qвнутр / ε₀.
• Гауссову поверхность выбирают с учётом симметрии электрического поля.
• Теорема Гаусса особенно полезна для расчёта полей высокосимметричных распределений зарядов.