§ 41. Теорема Гаусса

Определения и обозначения

Поток вектора напряжённости электрического поля через поверхность — величина, показывающая, насколько интенсивно линии поля пересекают поверхность. Он зависит от напряжённости E, площади S и её ориентации: Φ = E·S·cos α. Поток нужен, чтобы связать геометрию поля с находящимися внутри зарядами.

Замкнутая поверхность — поверхность, ограничивающая некоторый объём, например сфера или цилиндр с основаниями. Для каждого маленького участка такой поверхности вектор площади направляют наружу. Это правило позволяет правильно учитывать знаки входящего и выходящего потока.

Гауссова поверхность — воображаемая замкнутая поверхность, которую выбирают специально для расчёта поля. Её форму подбирают по симметрии расположения зарядов. Благодаря удачному выбору напряжённость на удобных участках можно считать постоянной.

Теорема Гаусса утверждает: поток напряжённости через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов внутри неё, делённой на ε₀. Формула имеет вид ∮E·dS = qвнутр/ε₀. Она позволяет находить поле через заключённый заряд, не складывая отдельно вклад каждого участка поля.

Как это устроено

Для однородного поля через плоскую поверхность проходит только нормальная составляющая напряжённости, то есть E·cos α. Поэтому поток равен Φ = E·S·cos α: при α = 0 поле пересекает поверхность прямо, а при α = 90° скользит вдоль неё и потока нет. Косинус появляется именно из-за проекции площади на плоскость, перпендикулярную полю.

Рассмотрим точечный заряд и маленький участок замкнутой поверхности. Поток через этот участок зависит от угла, под которым он виден из точки расположения заряда, поэтому его можно связать с телесным углом dΩ. Для заряда q получается dΦ = q·dΩ/(4πε₀), а сумма телесных углов всей замкнутой поверхности равна 4π, поэтому полный поток равен q/ε₀ и не зависит от формы поверхности.

Заряд, находящийся вне замкнутой поверхности, посылает линии поля через её границу. Часть линий входит внутрь, а затем выходит обратно, поэтому участки входа дают отрицательный поток, а участки выхода — положительный. При сложении эти вклады взаимно уничтожаются, и внешний заряд не меняет суммарный поток.

Для нескольких точечных зарядов действует принцип суперпозиции: напряжённость равна векторной сумме полей всех зарядов. Поток суммы равен сумме потоков, поэтому каждый внутренний заряд даёт qᵢ/ε₀, а внешний — нулевой вклад. При непрерывном распределении зарядов сумма заменяется интегралом, но итоговая запись сохраняет вид ∮E·dS = qвнутр/ε₀.

Теорема особенно эффективна, когда симметрия заранее подсказывает направление и величину поля. У сферы поле одинаково на сферической поверхности, у бесконечного цилиндра — на боковой поверхности, у бесконечной плоскости — на одинаковом расстоянии от неё. Тогда поток легко выражается через E и площадь, после чего из теоремы находят напряжённость.

Применение теоремы Гаусса при разных видах симметрии

В таблице сначала выбирают поверхность, на которой поле имеет простое поведение. Затем считают поток только через те участки, где поле направлено по нормали и имеет ненулевой вклад. После этого теорема даёт уравнение для E.

Разбор задач

Задача 1. В центре сферы радиусом R находится точечный заряд q. Требуется найти поток через сферу, причём значение радиуса менять не нужно. Симметрия показывает, что поле в каждой точке сферы направлено по радиусу и одинаково по модулю.

1. Выбираем сферу как гауссову поверхность: заряд находится внутри неё.
2. Записываем теорему Гаусса: Φ = qвнутр/ε₀.
3. Подставляем qвнутр = q и получаем Φ = q/ε₀.

Ответ: Φ = q/ε₀; поток не зависит от R.

Задача 2. Равномерно заряженный шар имеет радиус R и объёмную плотность заряда ρ. Нужно найти поле на расстоянии r от центра как внутри шара, так и снаружи. Из-за сферической симметрии используем сферу радиуса r.

1. При r < R заключённый заряд равен qвнутр = ρ·(4πr³/3).
2. Подставляем его в E·4πr² = qвнутр/ε₀ и получаем E = ρr/(3ε₀).
3. При r > R внутри находится весь заряд q = ρ·(4πR³/3), поэтому E = ρR³/(3ε₀r²).

Ответ: внутри E = ρr/(3ε₀), снаружи E = ρR³/(3ε₀r²).

Задача 3. Бесконечная плоскость заряжена равномерно с поверхностной плотностью σ. Поле перпендикулярно плоскости и имеет одинаковую величину по обе стороны. Поэтому берём цилиндрическую «пилюлю» с основаниями площади S.

1. Через боковую поверхность поток равен нулю, поскольку поле направлено вдоль неё.
2. Через два основания поток равен Φ = ES + ES = 2ES.
3. Заряд внутри «пилюли» равен σS, поэтому 2ES = σS/ε₀.

Ответ: E = σ/(2ε₀) с каждой стороны плоскости.

Типичные ошибки

Теорему применяют к незамкнутой поверхности. Причина — путают поток через отдельную площадку с полным потоком; проверка проста: поверхность должна полностью ограничивать объём.

Нулевой поток принимают за отсутствие поля. Это неверно, потому что одинаковые входящий и выходящий потоки могут взаимно компенсироваться; нужно отдельно проверить напряжённость в точках поверхности.

Во внутренний заряд включают внешние заряды. Так происходит, когда забывают мысленно провести границу гауссовой поверхности; учитывают только заряды, расположенные внутри её объёма.

Гауссову поверхность выбирают без учёта симметрии и выносят E за знак интеграла. Напряжённость можно вынести только там, где её модуль одинаков, поэтому сначала проверяют направление и величину поля на выбранных участках.

Связь с другими темами

Для понимания теоремы нужны закон Кулона, понятие напряжённости, принцип суперпозиции и скалярное произведение векторов. Она применяется при расчёте полей шаров, сфер, цилиндров, плоскостей и проводников. Далее теорема помогает объяснить поле внутри проводников, распределение зарядов на поверхности и электростатические свойства вещества.

Что запомнить

• Поток через поверхность зависит от нормальной составляющей поля.
• Для замкнутой поверхности вектор площади направлен наружу.
• Поток через замкнутую поверхность определяется только суммарным зарядом внутри неё.
• Внешние заряды могут создавать поле на поверхности, но их суммарный поток равен нулю.
• Теорема Гаусса особенно полезна при наличии симметрии.
• Гауссову поверхность выбирают так, чтобы модуль напряжённости был постоянным на удобных участках.
• Формула теоремы Гаусса: ∮E·dS = qвнутр/ε₀.