§ 42. Работа сил электрического поля

Определения и обозначения

Работа сил электрического поля — работа, которую электрическая сила совершает при перемещении заряда. Обозначают её буквой A, а измеряют в джоулях (Дж). Эта величина показывает, сколько энергии поле передало заряду или, наоборот, отдало ему.

Потенциальная энергия заряда в электрическом поле — энергия его взаимодействия с полем. Её обозначают Eₚ; она зависит от положения заряда и выбранного нулевого уровня энергии. Работа поля изменяет эту энергию: A = −ΔEₚ, поэтому при положительной работе потенциальная энергия уменьшается.

Разность потенциалов — разность потенциалов начальной и конечной точек: U₁₂ = φ₁ − φ₂. Она показывает, какую работу поле совершает при переносе единичного положительного заряда. Поэтому работа связана с ней формулой A = qU₁₂.

Однородное электрическое поле имеет одинаковые по модулю и направлению в каждой точке напряжённость E. В нём работу находят по формуле A = qEd cos α, где d — перемещение, а α — угол между силой и перемещением. Такое поле удобно для расчётов, потому что сила на заряде постоянна.

Как это устроено

В однородном поле электрическая сила постоянна по модулю: F = |q|E. Поэтому работа вычисляется как A = Fd cos α, то есть учитывается не вся длина перемещения, а его проекция на направление силы. Если заряд движется вдоль силы, α = 0° и A = Fd; при движении поперёк силы работа равна нулю.

Знак заряда определяет направление электрической силы. На положительный заряд сила направлена так же, как напряжённость, а на отрицательный — противоположно. Поэтому одно и то же перемещение может давать разные знаки работы для зарядов разных знаков.

Электростатическое поле является потенциальным, поэтому работа его сил не зависит от формы пути. На участках сложной траектории положительная и отрицательная работы могут взаимно компенсироваться. В итоге остаётся результат, определяемый только начальным и конечным положением заряда.

Поле совершает работу за счёт уменьшения потенциальной энергии системы «заряд — поле». Это выражается равенством A = −(Eₚ₂ − Eₚ₁). Если работа положительна, Eₚ₂ меньше Eₚ₁; если работа отрицательна, потенциальная энергия возрастает.

Разность потенциалов позволяет не находить силу и путь отдельно: A = q(φ₁ − φ₂). Для поля точечного заряда с источником Q формула имеет вид A = kQq(1/r₁ − 1/r₂), где r₁ и r₂ — расстояния от источника до начальной и конечной точек. Знак результата нужно определять с учётом знаков обоих зарядов и изменения расстояния.

Работа электрического поля в разных случаях

Таблица помогает выбрать формулу по известным данным задачи. Сначала определите, является ли поле однородным, затем установите направление силы и перемещения. После вычисления проверьте знак работы через физический смысл результата.

Разбор задач

Задача 1

Заряд q = 2 мкКл перемещают на d = 0,3 м вдоль однородного поля E = 500 Н/Кл. Нужно найти работу поля. Перемещение направлено вдоль силы, поэтому угол между ними равен 0°.

1. Переведём заряд: 2 мкКл = 2·10⁻⁶ Кл.
2. Используем A = qEd cos 0°. Так как cos 0° = 1, получаем A = 2·10⁻⁶·500·0,3 Дж.
3. Вычисляем: A = 3·10⁻⁴ Дж.

Ответ: работа поля равна 3·10⁻⁴ Дж. Она положительна, потому что положительный заряд перемещается по направлению электрической силы.

Задача 2

Заряд q = 4 мкКл перемещают между точками с разностью потенциалов U₁₂ = 120 В. Требуется найти работу поля и изменение потенциальной энергии. Считаем, что указанная разность потенциалов — φ₁ − φ₂.

1. Переводим заряд: q = 4·10⁻⁶ Кл.
2. Находим работу: A = qU₁₂ = 4·10⁻⁶·120 = 4,8·10⁻⁴ Дж.
3. Используем A = −ΔEₚ, поэтому ΔEₚ = −4,8·10⁻⁴ Дж.

Ответ: A = 4,8·10⁻⁴ Дж, а потенциальная энергия уменьшилась на 4,8·10⁻⁴ Дж. Противоположные знаки отражают передачу энергии от поля заряду.

Задача 3

Точечный заряд q перемещают от расстояния r₁ = 0,2 м до расстояния r₂ = 0,5 м от заряда-источника Q. Величины обоих зарядов известны, но числовые значения не заданы. Поэтому ответ записываем в общем виде и отдельно анализируем его знак.

1. Записываем формулу работы поля точечного заряда: A = kQq(1/r₁ − 1/r₂).
2. Подставляем расстояния: A = kQq(1/0,2 − 1/0,5) = kQq(5 − 2) = 3kQq.
3. Знак определяется произведением Qq: при одинаковых знаках зарядов работа положительна, при разных — отрицательна.

Ответ: A = 3kQq. При удалении одноимённых зарядов работа положительна, а разноимённых — отрицательна, поскольку направление силы в этих случаях различается.

Типичные ошибки

Подстановка длины пути вместо проекции перемещения приводит к неверной работе. Так происходит, когда забывают множитель cos α или считают любую траекторию движением вдоль силы. Проверьте угол между силой и перемещением и используйте d cos α.

Игнорирование знака заряда меняет направление силы. Отрицательный заряд движется под действием силы, направленной противоположно напряжённости, поэтому знак работы может измениться. Нарисуйте векторы E, F и перемещения до подстановки чисел.

Ошибка о зависимости работы от траектории возникает при переносе свойств обычной силы на электростатическое поле. Для электростатического поля работа между двумя точками одинакова по любому пути. Сравните начальную и конечную точки, а не длину маршрута.

Работу поля иногда приравнивают к изменению потенциальной энергии без смены знака. На самом деле A = −ΔEₚ: поле совершает положительную работу, когда энергия системы уменьшается. Проверка проста: после положительной работы значение ΔEₚ должно быть отрицательным.

Связь с другими темами

Для изучения работы нужны понятия работы постоянной силы, скалярного произведения силы и перемещения, а также связь напряжённости с силой: F = qE по модулю. Эти знания позволяют понимать смысл формулы A = Fd cos α, а не просто запоминать её.

Работа связана с потенциальной энергией и потенциалом электрического поля. Через них удобно применять закон сохранения энергии и описывать движение заряженных частиц без подробного расчёта силы на каждом участке пути.

Что запомнить

• Работа электрической силы зависит от заряда и перемещения.
• В однородном поле учитывают проекцию перемещения на направление силы.
• Работа электростатического поля не зависит от формы пути.
• Работа поля равна убыли потенциальной энергии заряда.
• Знак работы зависит от знака заряда и направления перемещения.
• Работу между двумя точками можно выразить через заряд и разность потенциалов.