"Физика (базовый и углублённый уровни)", Грачёв А.В., Погожев В.А., Салецкий А.М., Боков П.Ю.
Батарея конденсаторов — несколько конденсаторов, соединённых в одну систему для получения нужной ёмкости. При параллельном соединении напряжение одинаково, а ёмкости складываются. При последовательном соединении одинаковы заряды по модулю, напряжения складываются, а эквивалентная ёмкость находится через сумму обратных величин. Эти правила позволяют рассчитывать простые и смешанные цепи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Параллельное соединение конденсаторов — соединение, при котором одноимённые выводы всех конденсаторов подключены к одной паре узлов. Поэтому напряжение на каждом элементе одинаково, а общий заряд равен сумме зарядов. Такое соединение используют, чтобы увеличить общую ёмкость.
Последовательное соединение конденсаторов — соединение без ответвлений, когда элементы включены один за другим в одну цепь. Заряды конденсаторов равны по модулю, а напряжение распределяется между ними. Это позволяет получить ёмкость меньше самой малой исходной.
Эквивалентная ёмкость — ёмкость одного конденсатора, который заменяет батарею и сохраняет ту же связь между общим зарядом и напряжением. Она обозначается Cэ и определяется из формулы Q = CэU. По ней сложную батарею можно заменить одним элементом.
Батарея конденсаторов — система соединённых конденсаторов, рассматриваемая как единый электрический элемент. Её общую ёмкость находят по правилам параллельного, последовательного или смешанного соединения. Буквой C обозначают ёмкость, q — заряд отдельного элемента, Q — общий заряд, U — напряжение.
При параллельном соединении выводы каждого конденсатора подключены к одним и тем же двум узлам. Напряжение между такими узлами определяется источником и потому одинаково для всех ветвей: U₁ = U₂ = … = U. Разность потенциалов не зависит от того, через какую ветвь проходит путь между узлами.
Общий заряд параллельной батареи складывается из зарядов отдельных конденсаторов: Q = q₁ + q₂ + …. Для каждого элемента qᵢ = CᵢU, причём напряжение одно и то же. Поэтому Q = (C₁ + C₂ + …)U, а Cэ = C₁ + C₂ + ….
В последовательной цепи промежуточные проводники не имеют внешнего электрического контакта. Если на одном конденсаторе появляется заряд +q, на соединённых с ним поверхностях соседнего элемента возникают противоположные заряды, поэтому по модулю заряды всех конденсаторов одинаковы. Это даёт q₁ = q₂ = … = q.
Общее напряжение последовательной батареи складывается из падений напряжения на отдельных элементах: U = U₁ + U₂ + …. На каждом конденсаторе Uᵢ = q/Cᵢ, поэтому при одинаковом заряде большая доля напряжения приходится на конденсатор меньшей ёмкости. Напряжения будут равны только у одинаковых конденсаторов.
Подставим связь q = CU в условия соединения. Для последовательной батареи получаем U = q/C₁ + q/C₂ + … и 1/Cэ = 1/C₁ + 1/C₂ + …. Для двух элементов это даёт Cэ = C₁C₂/(C₁ + C₂), тогда как для параллельной батареи Cэ = C₁ + C₂ + ….
| Свойство | Параллельное соединение | Последовательное соединение |
|---|---|---|
| Признак соединения | Одноимённые выводы подключены к одной паре узлов | Одна цепь без ответвлений |
| Напряжение на каждом конденсаторе | Одинаковое: Uᵢ = U | Обычно различается: Uᵢ = q/Cᵢ |
| Заряд каждого конденсатора | qᵢ = CᵢU, обычно различается | Одинаков по модулю: qᵢ = q |
| Общий заряд батареи | Q = q₁ + q₂ + … | По модулю равен заряду элемента: Q = q |
| Общее напряжение батареи | U равно напряжению на ветвях | U = U₁ + U₂ + … |
| Эквивалентная ёмкость | Cэ = C₁ + C₂ + … | 1/Cэ = 1/C₁ + 1/C₂ + … |
| Ёмкость батареи по сравнению с отдельными конденсаторами | Больше ёмкости любого элемента | Меньше ёмкости каждого элемента |
Сначала определите узлы и отсутствие или наличие ответвлений, а затем выберите нужный столбец. После этого подставьте известные величины в формулу эквивалентной ёмкости.
Для смешанной схемы таблицу применяют несколько раз: сначала заменяют простейший участок, затем рассматривают получившуюся схему. Отдельно отслеживайте общий заряд батареи и заряды конденсаторов внутри параллельных ветвей.
Даны конденсаторы 2 мкФ и 3 мкФ, соединённые параллельно и подключённые к напряжению 12 В. Требуется найти эквивалентную ёмкость и общий заряд. Поскольку ветви подключены к одним узлам, используем правило параллельного соединения.
Ответ: Cэ = 5 мкФ, Q = 60 мкКл. Заряды отдельных конденсаторов были бы разными: 24 мкКл и 36 мкКл.
Конденсаторы 6 мкФ и 3 мкФ соединены последовательно и подключены к 18 В. Сначала найдём ёмкость батареи, затем одинаковый по модулю заряд и напряжения на элементах. В последовательной цепи напряжения не обязаны быть равными.
Ответ: Cэ = 2 мкФ, Q = 36 мкКл, напряжения равны 6 В и 12 В. Их сумма даёт 18 В, как требует правило последовательного соединения.
Два конденсатора по 4 мкФ соединены параллельно, а эта группа последовательно соединена с конденсатором 3 мкФ. Вся батарея подключена к 20 В. Упростим схему поэтапно, начиная с параллельного участка.
Ответ: Cэ = 24/11 мкФ ≈ 2,18 мкФ, общий заряд ≈ 43,6 мкКл. На конденсаторе 3 мкФ около 14,5 В, на каждом конденсаторе 4 мкФ около 5,45 В.
Формулу суммы ёмкостей применяют к последовательной цепи, потому что механически складывают элементы. Ошибка возникает, если не определить узлы и ответвления. Проверьте: одна цепь без ответвлений означает последовательное соединение и обратную сумму.
При последовательном соединении считают напряжения одинаковыми. На самом деле одинаковы заряды по модулю, а напряжение Uᵢ = q/Cᵢ. Самопроверка: сложите найденные напряжения и сравните с напряжением источника.
При параллельном соединении считают одинаковыми заряды. Одинаково только напряжение, а qᵢ = CᵢU, поэтому ёмкость и заряд связаны прямо. Если ёмкости различны, равные заряды невозможны.
В смешанной схеме общий заряд батареи путают с зарядом отдельного элемента. Сначала укажите, о каком участке идёт речь: для последовательного участка заряд одинаков, а в параллельной группе общий заряд складывается. Проверяйте результат через Q = CэU.
Для расчётов нужны определение ёмкости конденсатора, формула Q = CU, понятия заряда, напряжения, узла и участка цепи.
Правила соединения помогают рассчитывать сложные цепи и получать нужную ёмкость из стандартных конденсаторов. Они особенно полезны при проектировании электрических устройств.
Дальше эти результаты применяются при изучении энергии конденсатора, электрического поля и переходных процессов в цепях с конденсаторами.
Как по схеме отличить параллельное соединение конденсаторов от последовательного?
При параллельном соединении одноимённые выводы конденсаторов подключены к одной и той же паре узлов, поэтому у всех элементов одинаковое напряжение. При последовательном соединении конденсаторы образуют одну цепь без ответвлений.
Почему при параллельном соединении складываются ёмкости, а при последовательном — обратные величины?
При параллельном соединении общий заряд складывается при одном напряжении, поэтому складываются ёмкости. При последовательном соединении одинаков заряд, а напряжения складываются, поэтому после подстановки q = CU получается сумма обратных ёмкостей.
Одинаковы ли заряды конденсаторов при параллельном соединении?
Нет, при параллельном соединении одинаково напряжение. Заряд каждого конденсатора равен qᵢ = CᵢU, поэтому конденсатор большей ёмкости получает больший заряд.
Как распределяется напряжение между последовательно соединёнными конденсаторами?
Заряды конденсаторов при последовательном соединении равны по модулю, поэтому напряжение на каждом равно Uᵢ = q/Cᵢ. При одном и том же заряде меньшая ёмкость получает большее напряжение.
Как рассчитывать батарею конденсаторов со смешанным соединением?
Сначала находят эквивалентную ёмкость простого участка: параллельные ёмкости складывают, а для последовательных используют обратную сумму. Затем заменяют участок одним эквивалентным конденсатором и повторяют расчёт для оставшейся схемы.
§ 76. Параллельное и последовательное соединение конденсаторов
