§ 75. Конденсаторы. Ёмкость плоского конденсатора. Энергия электрического поля

Определения и обозначения

Конденсатор — устройство из двух проводников, разделённых диэлектриком, предназначенное для накопления заряда и энергии электрического поля. Проводники называют обкладками, а изолирующее вещество между ними — диэлектриком. Такое устройство используют там, где нужно временно запасти энергию и затем передать её электрической цепи.

Электрическая ёмкость — физическая величина, равная отношению заряда одной обкладки к напряжению между обкладками: C = q/U. Она показывает, какой заряд способен накопить конденсатор при данном напряжении. Единица измерения ёмкости — фарад (Ф).

Плоский конденсатор имеет две параллельные плоские обкладки. Его ёмкость вычисляют по формуле C = ε₀εS/d, где S — площадь обкладки, d — расстояние между обкладками, ε — относительная диэлектрическая проницаемость вещества. Формула позволяет заранее оценить свойства конденсатора по его размерам и материалу.

Энергия электрического поля конденсатора — энергия, запасённая при его зарядке. Она обозначается W и рассчитывается так: W = CU²/2 = qU/2 = q²/(2C). Выбор формулы зависит от того, какие величины известны в условии задачи.

Как это устроено

Две проводящие обкладки получают равные по модулю и противоположные по знаку заряды, потому что электроны переходят с одной обкладки на другую. Если одна обкладка теряет электроны, она становится положительной, а другая получает избыток электронов и заряжается отрицательно. Диэлектрик между ними препятствует непосредственному перемещению зарядов и позволяет сохранить разделение зарядов.

При подключении конденсатора к источнику электроны движутся по внешней цепи, а не через диэлектрик. Из-за разделения зарядов между обкладками возникает разность потенциалов, то есть напряжение. Одновременно формируется электрическое поле, в котором постепенно запасается энергия источника.

Ёмкость показывает, какой заряд соответствует определённому напряжению у данной конструкции. Для неизменных размеров обкладок и выбранного диэлектрика увеличение заряда вызывает пропорциональное увеличение напряжения, поэтому отношение q/U остаётся постоянным. Ёмкость характеризует не количество уже накопленного заряда, а способность устройства его накапливать.

У плоского конденсатора ёмкость увеличивается с площадью обкладок: большая поверхность позволяет разместить больше разделённых зарядов. Диэлектрик усиливает способность системы накапливать заряд, поэтому появление вещества с большей ε повышает ёмкость. При увеличении расстояния между обкладками взаимодействие зарядов ослабевает, и ёмкость уменьшается.

Энергия конденсатора равна работе, которую совершает источник при его зарядке. В процессе зарядки напряжение растёт от нуля до конечного значения, поэтому работа не равна просто qU, а составляет половину этого произведения: W = qU/2. Подставляя q = CU или U = q/C, получают две другие формы формулы энергии.

Основные характеристики конденсатора

В таблице собраны величины, которые чаще всего встречаются в задачах о конденсаторах. Сначала определите, что именно дано в условии, затем выберите строку с подходящей формулой. В последнем столбце указаны единицы СИ, в которых нужно выражать величины перед вычислениями.

В формулах ε₀ — электрическая постоянная, а ε — относительная диэлектрическая проницаемость вещества. Заряд обычно берут в кулонах, площадь — в квадратных метрах, расстояние — в метрах. При необходимости результат можно перевести в микрофарады или другие удобные единицы после вычисления.

Разбор задач

Задача 1. Конденсатор зарядом 6 мкКл подключён к напряжению 120 В. Найдём его ёмкость. Здесь непосредственно известны q и U, поэтому используем определение ёмкости.

1. Переведём заряд: q = 6 мкКл = 6 · 10⁻⁶ Кл.
2. Подставим данные: C = q/U = (6 · 10⁻⁶)/120 = 5 · 10⁻⁸ Ф.
3. Переведём результат: C = 0,05 мкФ = 50 нФ.

Ответ: ёмкость конденсатора равна 5 · 10⁻⁸ Ф, или 50 нФ. Перевод микрокулонов в кулоны обязателен, иначе результат будет отличаться в миллион раз.

Задача 2. Площадь обкладки S = 200 см², расстояние d = 1 мм, ε = 2. Требуется найти ёмкость. Сначала приведём геометрические величины к единицам СИ.

1. S = 200 см² = 0,02 м², d = 1 мм = 10⁻³ м.
2. Используем C = ε₀εS/d, где ε₀ ≈ 8,85 · 10⁻¹² Ф/м.
3. C ≈ (8,85 · 10⁻¹² · 2 · 0,02)/(10⁻³) = 3,54 · 10⁻¹⁰ Ф.

Ответ: C ≈ 3,54 · 10⁻¹⁰ Ф, или 354 пФ. Небольшое расстояние между обкладками и диэлектрик увеличивают ёмкость по сравнению с воздушным конденсатором тех же размеров.

Задача 3. Конденсатор C₁ = 20 мкФ зарядили до U₁ = 100 В и отключили. Затем его ёмкость стала C₂ = 5 мкФ. Нужно найти новое напряжение и изменение энергии. После отключения источник не поддерживает напряжение, зато заряд на изолированном конденсаторе сохраняется.

1. Начальный заряд: q = C₁U₁ = 20 · 10⁻⁶ · 100 = 2 · 10⁻³ Кл.
2. Новое напряжение: U₂ = q/C₂ = (2 · 10⁻³)/(5 · 10⁻⁶) = 400 В.
3. Начальная энергия W₁ = C₁U₁²/2 = 0,1 Дж, конечная W₂ = q²/(2C₂) = 0,4 Дж.
4. Изменение энергии: ΔW = W₂ − W₁ = 0,3 Дж.

Ответ: новое напряжение равно 400 В, энергия увеличилась на 0,3 Дж. Энергия возросла потому, что при постоянном заряде уменьшение ёмкости повышает напряжение и значение q²/(2C).

Типичные ошибки

Считать ёмкость количеством заряда — ошибка, потому что заряд q и ёмкость C являются разными физическими величинами. Так происходит из-за похожего контекста: обе связаны с накоплением заряда. Проверьте себя по формуле C = q/U и единицам: у заряда кулон, у ёмкости фарад.

Подставлять площадь и расстояние в сантиметрах или миллиметрах без перевода в СИ нельзя. Коэффициент ε₀ записан в единицах, согласованных с метрами и квадратными метрами, поэтому результат исказится. Перед расчётом выпишите S в м² и d в м.

Формулы W = CU²/2 и W = q²/(2C) нельзя выбирать случайно. Первая удобна при известных C и U, вторая — при известных q и C, а при известных q и U используют W = qU/2. Сверьте набор данных в условии с буквами формулы.

Нельзя утверждать, что после введения диэлектрика заряд обязательно изменится. При подключённом источнике обычно сохраняется напряжение, а у отключённого конденсатора сохраняется заряд. Поэтому сначала выясните, соединён ли конденсатор с источником, и только потом определяйте изменяющуюся величину.

Связь с другими темами

Для понимания конденсаторов нужны понятия электрического заряда, напряжения, работы электрического поля и диэлектрика. Они объясняют, почему заряды разделяются, как возникает поле и откуда берётся энергия. Без этих связей формулы остаются набором обозначений.

Тема пригодится при изучении последовательного и параллельного соединения конденсаторов. В таких цепях находят общую ёмкость, заряд и напряжение на отдельных элементах. Эти расчёты являются частью анализа электрических цепей.

Энергия конденсатора важна при изучении колебательного контура и электромагнитных колебаний. В контуре энергия переходит между электрическим и магнитным полями. Принцип накопления энергии используется также в различных накопителях и импульсных устройствах.

Что запомнить

• Конденсатор состоит из двух проводников, разделённых диэлектриком.
• Ёмкость определяется отношением заряда к напряжению: C = q/U.
• Единица электрической ёмкости — фарад.
• Для плоского конденсатора C = ε₀εS/d.
• Увеличение площади обкладок и диэлектрической проницаемости повышает ёмкость, а увеличение расстояния уменьшает её.
• Энергия конденсатора W = CU²/2 = qU/2 = q²/(2C).