"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под редакцией Орлова В.А.
Энергия тела в релятивистской физике включает энергию покоя, связанную с массой, и кинетическую энергию движения. Даже неподвижное тело обладает энергией E₀ = mc², а при увеличении скорости его полная энергия растёт благодаря коэффициенту Лоренца. Эти формулы показывают, почему малое изменение массы может выделить огромное количество энергии в ядерных реакциях.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Энергия покоя — энергия тела, связанная с его массой покоя: E₀ = mc², где m — масса покоя, а c — скорость света в вакууме. Она существует даже тогда, когда тело неподвижно. Формула нужна, чтобы учитывать внутренний энергетический вклад массы.
Энергия тела — его полная энергия в выбранной системе отсчёта: E = γmc². Здесь учитывается и энергия покоя, и энергия движения. Это позволяет описывать тела, движущиеся с большими скоростями.
Кинетическая энергия в релятивистской механике — разность полной энергии и энергии покоя: K = E − E₀ = (γ − 1)mc². Она показывает, какая часть полной энергии связана именно с движением. При остановке тела эта составляющая исчезает.
Коэффициент Лоренца γ = 1/√(1 − v²/c²) учитывает влияние скорости на энергию тела. При малой скорости он почти равен единице, а при приближении v к c быстро возрастает. С его помощью классические формулы заменяют релятивистскими.
Энергия покоя не равна нулю, потому что масса тела связана с его внутренним состоянием и энергией. Соотношение E₀ = mc² утверждает, что сама масса является одной из форм энергии. Поэтому неподвижность означает отсутствие энергии движения, но не отсутствие полной энергии.
При движении полная энергия увеличивается из-за роста коэффициента γ. В формуле E = γmc² масса покоя остаётся постоянной, а множитель γ зависит от скорости. Чем ближе скорость к c, тем сильнее возрастает энергия, поэтому разгон материального тела до скорости света потребовал бы неограниченной энергии.
Полная энергия складывается из энергии покоя и кинетической: E = E₀ + K. Подстановка E₀ = mc² и E = γmc² даёт K = (γ − 1)mc². При v = 0 имеем γ = 1, поэтому K = 0, но E = E₀ сохраняется.
Если скорость намного меньше скорости света, отношение v²/c² мало. Тогда коэффициент Лоренца можно приближённо представить как γ ≈ 1 + ½v²/c², и после подстановки получается K ≈ mv²/2. Множитель c² показывает масштаб связи массы и энергии: c² огромно, поэтому потеря даже малой массы системы сопровождается большим выделением энергии.
| Величина | Обозначение и формула | Физический смысл | Когда применяют |
|---|---|---|---|
| Энергия покоя | E₀ = mc² | Энергия тела, связанная с его массой покоя | Для неподвижного тела и как часть полной энергии |
| Полная энергия | E = γmc² | Сумма энергии покоя и энергии движения | Для тела с любой скоростью в выбранной системе отсчёта |
| Кинетическая энергия | K = E − E₀ = (γ − 1)mc² | Энергия, обусловленная движением | При релятивистских скоростях и вычислении работы разгона |
| Зависимость от скорости | γ = 1/√(1 − v²/c²) | Показывает, как скорость изменяет полную энергию | Когда скорость сравнима со скоростью света |
| Низкоскоростное приближение | K ≈ mv²/2 | Приближённая классическая кинетическая энергия | При условии v ≪ c |
Сначала определите, какая энергия требуется: покоя, полная или кинетическая. Затем проверьте скорость: при v ≪ c достаточно классической формулы, а при большой скорости нужен коэффициент γ. Все величины следует подставлять в согласованных единицах СИ.
Задача 1. Найдём энергию покоя тела массой 2,0 кг при c = 3,0·10⁸ м/с. Масса уже выражена в килограммах, поэтому результат сразу получится в джоулях. Используем формулу, связывающую массу и энергию.
Ответ: E₀ = 1,8·10¹⁷ Дж.
Задача 2. Электрон движется со скоростью v = 0,60c, а его энергия покоя равна E₀. Требуется найти полную и кинетическую энергии через E₀. Сначала вычисляем γ, затем используем соотношения E = γE₀ и K = E − E₀.
Ответ: E = 1,25E₀, K = 0,25E₀.
Задача 3. После ядерной реакции суммарная масса продуктов уменьшилась на 0,001 кг. Это уменьшение называют дефектом массы и связывают с выделившейся энергией. Массу системы нельзя путать с массой одной частицы.
Ответ: выделилось 9·10¹³ Дж энергии.
Нулевая энергия у неподвижного тела. Ошибка возникает из-за смешения полной и кинетической энергии: при v = 0 равна нулю только K. Проверьте себя по формуле E₀ = mc² — при ненулевой массе она даёт ненулевой результат.
Классическая формула при большой скорости. Формулу mv²/2 часто используют по привычке, хотя она точна только при v ≪ c. Сравните скорость с c и при заметной доле скорости света вычислите γ.
Путаница полной энергии и энергии покоя. Величина E₀ зависит от массы покоя, а E = γmc² дополнительно зависит от скорости. Если в решении полная энергия не меняется при разгоне, выбранная формула, вероятно, неверна.
Ошибки в единицах и степени двойки. Забытый квадрат c или масса не в килограммах резко меняют ответ. Перед вычислением проверьте запись c² и приведите все величины к СИ.
До изучения темы нужны понятия массы, кинетической энергии, системы отсчёта и скорости света в вакууме. Они помогают понять, какие величины входят в формулы и почему энергия зависит от выбранной системы отсчёта.
Связь массы и энергии используется при изучении ядерных реакций, дефекта массы и энергетического баланса частиц. По изменению суммарной массы можно определить энергию, которая выделилась или поглотилась.
Формулы релятивистской энергии следуют из постулатов специальной теории относительности. Они также связаны с ограничением: тело с ненулевой массой не может быть разогнано до скорости света.
Есть ли энергия у тела, которое покоится?
Да. У покоящегося тела кинетическая энергия равна нулю, но сохраняется энергия покоя E₀ = mc², связанная с его массой.
Чем энергия покоя отличается от полной энергии тела?
Энергия покоя E₀ = mc² не зависит от движения тела. Полная энергия E = γmc² включает энергию покоя и кинетическую энергию, поэтому при движении она больше.
Почему в формуле энергии появляется квадрат скорости света?
Квадрат скорости света является коэффициентом связи массы и энергии в специальной теории относительности. Его огромное значение объясняет, почему даже небольшая масса соответствует большой энергии.
Когда можно пользоваться формулой кинетической энергии mv²/2?
Эту формулу применяют при скоростях, намного меньших скорости света: v ≪ c. При скоростях, сравнимых с c, используют K = (γ − 1)mc².
Как по дефекту массы определить энергию, выделившуюся в реакции?
Нужно умножить уменьшение суммарной массы на квадрат скорости света: ΔE = Δm·c². Если масса продуктов меньше массы исходных частиц, соответствующая энергия выделяется.
§23. Энергия тела. Энергия покоя
