"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под редакцией Орлова В.А.
Эквивалентное преобразование позволяет заменить сложный участок электрической схемы более простым, не изменив токи и напряжения во внешней части цепи. Главное применение метода — расчёт разветвлённых цепей постоянного тока. Для этого резисторы объединяют в последовательные и параллельные группы, находят их эквивалентные сопротивления, а затем определяют общий ток, напряжения и токи отдельных ветвей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Эквивалентное преобразование электрической схемы — замена её участка другим участком, при которой токи и напряжения во внешней части схемы сохраняются. Иными словами, внешняя цепь не замечает, что внутри произошло упрощение. Это позволяет заменять сложные группы резисторов более простыми.
Эквивалентное сопротивление — сопротивление, которым заменяют группу резисторов без изменения режима работы остальной схемы. Его обозначают Rэкв. Зная эту величину, можно сначала рассчитать общий ток всей цепи, а затем восстановить параметры отдельных элементов.
Последовательное соединение — соединение резисторов, при котором через все резисторы проходит один и тот же ток. Такой участок имеет единственный путь для движения зарядов. Сопротивления при этом складываются, потому что напряжение падает на каждом элементе.
Параллельное соединение — соединение резисторов, при котором напряжение на всех ветвях одинаково. Ток разделяется между ветвями и затем снова соединяется. Поэтому для расчёта используют сумму обратных сопротивлений.
Участок цепи можно заменить эквивалентным сопротивлением, если внешняя часть получает те же ток и напряжение, что и раньше. По закону Ома это означает сохранение отношения U/I для данного режима. Поэтому источник и остальные элементы цепи будут работать без изменений, хотя внутреннее устройство участка станет проще.
Для последовательного соединения ток через резисторы одинаков: I = I₁ = I₂. По закону Ома напряжения равны U₁ = IR₁ и U₂ = IR₂, а общее напряжение складывается: U = U₁ + U₂. Значит, U = I(R₁ + R₂), поэтому Rэкв = R₁ + R₂.
Для параллельного соединения напряжение на каждой ветви одно и то же: U = U₁ = U₂. По закону Ома токи равны I₁ = U/R₁ и I₂ = U/R₂, а в узле выполняется I = I₁ + I₂. Подставляя эти выражения, получаем 1/Rэкв = 1/R₁ + 1/R₂.
При последовательном соединении к сопротивлению каждого элемента добавляется сопротивление остальных, поэтому Rэкв больше любого из них. При параллельном соединении общий ток больше тока через отдельную ветвь при том же напряжении. Значит, отношение U/I, то есть эквивалентное сопротивление, становится меньше наименьшего сопротивления.
Сложную схему упрощают по шагам. Сначала находят группы с однозначным последовательным или параллельным соединением, заменяют их и заново рассматривают получившуюся схему. Действия повторяют до одного сопротивления, затем находят общий ток и при необходимости идут в обратном порядке, восстанавливая параметры элементов.
| Свойство | Последовательное соединение | Параллельное соединение |
|---|---|---|
| Связь между токами | I = I₁ = I₂ = … | I = I₁ + I₂ + … |
| Связь между напряжениями | U = U₁ + U₂ + … | U = U₁ = U₂ = … |
| Формула эквивалентного сопротивления | Rэкв = R₁ + R₂ + … | 1/Rэкв = 1/R₁ + 1/R₂ + … |
| Сравнение эквивалентного сопротивления с сопротивлениями резисторов | Rэкв больше каждого сопротивления | Rэкв меньше наименьшего сопротивления |
| Что происходит при разрыве одной ветви или одного элемента | Цепь разрывается полностью, ток прекращается | Остальные ветви могут продолжать проводить ток |
| Распределение мощности между резисторами | Pᵢ = I²Rᵢ: больше мощность у большего сопротивления | Pᵢ = U²/Rᵢ: больше мощность у меньшего сопротивления |
Таблицу удобно использовать как краткий алгоритм выбора формулы. Сначала определите, одинаковы ли токи или напряжения, затем применяйте соответствующую строку. Не забывайте проверять результат сравнением эквивалентного сопротивления с сопротивлениями отдельных резисторов.
Задача 1. Два резистора 4 Ом и 6 Ом соединены последовательно и подключены к источнику 20 В. Нужно найти эквивалентное сопротивление и ток в цепи. Последовательное соединение позволяет заменить резисторы одной суммой.
Ответ: Rэкв = 10 Ом, ток в цепи I = 2 А. Этот же ток проходит через каждый из двух резисторов.
Задача 2. Резисторы 6 Ом и 3 Ом соединены параллельно и подключены к напряжению 12 В. Сначала найдём сопротивление всей группы, а затем ток в каждой ветви. Напряжение на обоих резисторах равно напряжению источника.
Ответ: Rэкв = 2 Ом, токи в ветвях равны 2 А и 4 А. Общий ток можно проверить сложением: I = 2 А + 4 А = 6 А.
Задача 3. Резистор 2 Ом соединён последовательно с параллельной группой 6 Ом и 3 Ом, а вся схема подключена к 12 В. Сначала объединим параллельные ветви, потому что именно их сопротивление можно заменить сразу. Затем найдём общий ток и распределим напряжение по исходным участкам.
Ответ: общий ток равен 3 А, токи в ветвях — 1 А через резистор 6 Ом и 2 А через резистор 3 Ом.
Складывать сопротивления при параллельном соединении. Так переносят правило последовательной группы на схему с несколькими путями тока. Проверьте себя: при параллельном соединении результат должен быть меньше наименьшего сопротивления.
Считать одинаковыми токи в параллельных ветвях. Обычно путают одинаковые токи последовательной цепи с одинаковыми напряжениями параллельной. Проверьте обозначения узлов: если обе ветви подключены к одной паре узлов, равны их напряжения, а токи находят отдельно.
Определять соединение только по внешнему виду рисунка. Наклонные или близко расположенные линии сами по себе ничего не доказывают. Нужно проследить узлы: при последовательном соединении путь тока единственный, а при параллельном элементы подключены к одной паре узлов.
Приписывать каждому резистору напряжение источника. Это верно для параллельных ветвей, но не для элементов последовательной цепи. Сначала найдите падение напряжения на других участках и используйте для данного резистора только его фактическое напряжение.
До изучения метода нужны закон Ома, правила сложения токов и напряжений, а также понятия узла, ветви и участка электрической цепи. Без них трудно определить тип соединения и выбрать формулу.
Метод применяют при расчёте разветвлённых цепей постоянного тока. Полученные результаты можно проверять с помощью законов Кирхгофа, которые работают и для более сложных схем.
Эквивалентные преобразования полезны при анализе измерительных схем, электрических устройств и цепей с нагрузками. Они помогают заменить часть схемы простой моделью и быстрее оценить её работу.
Как понять по схеме, какие резисторы можно заменить одним эквивалентным сопротивлением?
Проверьте, как соединены концы резисторов. При последовательном соединении у группы есть единственный путь для тока, а при параллельном соединении концы всех резисторов подключены к одной и той же паре узлов.
Почему при параллельном соединении сопротивления нельзя просто сложить?
При параллельном соединении ток получает несколько путей, поэтому общее сопротивление уменьшается. Сложение сопротивлений описывает последовательное соединение, где длина пути для тока увеличивается.
Что сохраняется при эквивалентном преобразовании схемы?
Во внешней части цепи сохраняются ток и напряжение, а значит, не меняется режим её работы. Внутри заменённого участка распределение токов и напряжений может быть описано уже после обратного восстановления.
В каком порядке нужно преобразовывать сложную разветвлённую схему?
Начинайте с групп, соединение которых можно однозначно распознать как последовательное или параллельное. Заменяйте их, снова анализируйте получившуюся схему и повторяйте действия, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Как восстановить токи и напряжения в исходной схеме после её упрощения?
Двигайтесь в обратном порядке преобразований. Для последовательной группы используйте общий ток, а для параллельной группы — общее напряжение и закон Ома для каждой ветви.
1. Метод эквивалентного преобразования электрических схем
