§ 43. Расчёт более сложных электрических цепей

Определения и обозначения

Узел электрической цепи — точка соединения трёх и более проводников. Токи, направленные к узлу, считают входящими, а направленные от него — выходящими. Узлы нужны, чтобы записывать баланс заряда.

Ветвь электрической цепи — участок между двумя узлами, по которому течёт один ток. На схеме для ветви ставят стрелку и обозначают ток, например I₁. Через ветви находят неизвестные величины цепи.

Контур электрической цепи — замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям. Направление обхода выбирают условно: по часовой стрелке или против неё. От выбора зависит только расстановка знаков в уравнениях.

Правила Кирхгофа — два правила для расчёта разветвлённых цепей. Первое основано на сохранении заряда, второе — на сохранении энергии. Вместе они превращают задачу о токах в систему уравнений.

Как это устроено

Для простой цепи достаточно закона Ома и правил последовательного или параллельного соединения. В сложной схеме токи могут разделяться и снова соединяться, а источники влияют сразу на несколько ветвей. Поэтому для каждой ветви вводят неизвестный ток, а затем связывают эти токи уравнениями.

Первое правило Кирхгофа выражает сохранение заряда: в самом узле заряд не накапливается. Значит, за один и тот же промежуток времени заряд, вошедший в узел, должен выйти из него. Поэтому сумма входящих токов равна сумме выходящих, например I₁ + I₂ = I₃.

Второе правило Кирхгофа описывает энергию заряда при движении по замкнутому контуру. Источники сообщают заряду энергию, а резисторы отдают её в виде тепла, поэтому полный баланс равен нулю. В выбранном обходе это записывают как Σℰ − ΣIR = 0, учитывая знаки всех ЭДС и падений напряжения.

Стрелки токов и направление обхода можно выбрать произвольно, потому что это условные обозначения, а не результат измерения. Если после решения ток получился отрицательным, его действительное направление противоположно стрелке. Отрицательный знак не является ошибкой, если все знаки в уравнениях расставлены последовательно.

Сначала считают неизвестные токи и выбирают независимые узлы и контуры. Затем составляют столько независимых уравнений, сколько неизвестных токов, решают систему и проверяют ответ. Проверка включает закон Ома для отдельных участков, первое правило в узлах и совпадение полученной мощности источников с мощностью, выделившейся на сопротивлениях.

Элементы сложной цепи и правила её расчёта

В таблице собраны основные объекты и действия, которые нужны при расчёте. Сначала определите ветви и узлы, затем задайте направления токов и обхода. После этого используйте соотношения, соблюдая выбранное правило знаков.

Разбор задач

Задача 1

Цепь имеет два источника и резисторы, соединённые последовательно и параллельно. Требуется найти токи во всех ветвях. Числовые значения выберем условно, поэтому главное — порядок рассуждений.

1. Заменяем участок из последовательно соединённых резисторов сопротивлением R = R₁ + R₂.
2. Для параллельного участка находим 1/Rэкв = 1/R₁ + 1/R₂, затем учитываем ЭДС источников в общей цепи.
3. Находим общий ток по закону Ома, а токи параллельных ветвей — по их напряжениям и сопротивлениям.

Ответ: простые участки сначала сводят к эквивалентным сопротивлениям. Затем токи восстанавливают по закону Ома и проверяют равенством входящего и выходящих токов в узле.

Задача 2

Двухконтурная цепь содержит общую ветвь с резистором и два источника ЭДС. Нужно определить токи в обеих петлях и в общей ветви. Направления токов зададим произвольно.

1. Для общего узла записываем связь токов, например I₁ + I₂ = I₃.
2. Для каждого независимого контура составляем Σℰ − ΣIR = 0, включая сопротивление общей ветви в оба уравнения.
3. Решаем полученную систему из трёх уравнений и анализируем знаки найденных токов.

Ответ: система учитывает влияние обоих источников через общую ветвь. Если один ток отрицателен, его направление противоположно выбранному, а модуль значения остаётся искомым током.

Задача 3

В разветвлённой цепи несколько узлов, источников и резисторов, а последовательное и параллельное упрощение невозможно. Требуется найти ток каждой ветви. В такой ситуации используют полный набор правил Кирхгофа.

1. Обозначаем токи во всех ветвях и выбираем независимые узлы, не записывая лишнее уравнение для последнего узла.
2. Выбираем независимые контуры и для каждого учитываем ЭДС и падения IR с правильными знаками.
3. Решаем систему, затем подставляем токи в узловые уравнения и проверяем баланс мощности.

Ответ: полученные токи полностью определяют режим цепи. Согласие проверок означает, что направления, знаки и число уравнений выбраны правильно.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что стрелки токов заранее должны совпасть с реальностью. Так думают, потому что направление тока не всегда видно по схеме; проверка проста: отрицательный результат означает обратное направление.

Ошибка — неверно расставить знаки в узловом уравнении. Её допускают, когда смешивают входящие и выходящие токи; нужно записать их в разные группы и проверить равенство сумм.

Ошибка — путать ЭДС с падением напряжения на резисторе. При обходе от минуса к плюсу источника ставят плюс, а при движении по току через резистор учитывают падение; полезно отмечать полярность каждого элемента.

Ошибка — составить зависимые уравнения для всех возможных контуров и узлов. Такие уравнения не добавляют новой информации, поэтому число независимых связей должно совпадать с числом неизвестных токов.

Связь с другими темами

Перед расчётом нужны закон Ома для участка и полной цепи, а также правила последовательного и параллельного соединения проводников. Правила Кирхгофа непосредственно следуют из законов сохранения заряда и энергии. Позже эти методы пригодятся при расчёте разветвлённых цепей постоянного тока, измерительных схем и цепей переменного тока.

Что запомнить

• Сложную цепь рассчитывают через токи в отдельных ветвях и систему уравнений.
• В узле сумма входящих токов равна сумме выходящих.
• Для замкнутого контура алгебраическая сумма изменений напряжения равна нулю.
• Направления токов и обхода выбирают произвольно, но после выбора не меняют.
• Отрицательный ток означает противоположное выбранному направление.
• Число независимых уравнений должно соответствовать числу неизвестных токов.
• Результат проверяют законом Ома и сохранением энергии.