"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под редакцией Орлова В.А.
Уравнение Клапейрона описывает связь между давлением, объёмом и абсолютной температурой идеального газа. Для неизменной массы газа отношение pV/T сохраняет постоянное значение, а при заданном количестве вещества используется форма pV = νRT. Уравнение помогает находить неизвестные параметры газа, сравнивать два его состояния и решать задачи на изменение температуры, объёма или давления.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение Клапейрона — соотношение pV/T = const для данной массы газа, связывающее давление, объём и абсолютную температуру. Оно показывает, как параметры газа изменяются совместно. С его помощью можно сравнивать состояния газа и находить неизвестную величину.
Количество вещества ν — мера количества частиц вещества, измеряемая в молях. В уравнении состояния эта величина показывает, сколько газа рассматривается. Зная ν, можно связать макроскопические параметры газа с универсальной постоянной R.
Универсальная газовая постоянная R — коэффициент в уравнении состояния идеального газа; R ≈ 8,31 Дж/(моль·К). Она одинакова для любых идеальных газов. При умножении R на количество вещества и температуру получается величина, связанная с произведением давления на объём.
Термодинамическая температура T — абсолютная температура, измеряемая в кельвинах. Её отсчёт начинается от абсолютного нуля, поэтому она не бывает отрицательной. Именно T, а не температура в градусах Цельсия, используется в уравнении Клапейрона.
При изменении состояния фиксированной массы газа давление, объём и температура могут меняться одновременно. Однако эти изменения связаны не случайно: увеличение температуры при прочих условиях заставляет газ расширяться или повышать давление. Поэтому произведение pV, делённое на T, остаётся одним и тем же для данной массы газа.
Если газ описывается количеством вещества ν, постоянную величину можно записать как νR. Это связано с тем, что чем больше частиц газа, тем больше объём или давление при той же температуре. После такой замены получается формула pV = νRT, называемая уравнением состояния идеального газа.
При переходе газа из одного состояния в другое его количество вещества не меняется, если газ не выпускают из сосуда и не добавляют его. Поэтому для обоих состояний используется одна и та же постоянная. Приравнивание отношений даёт запись p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂.
В формуле нужна абсолютная температура, потому что физические закономерности газа связаны с расстоянием от абсолютного нуля. Шкала Цельсия отсчитывает температуру от условной точки замерзания воды и для этой цели неудобна. Поэтому перед подстановкой используют перевод T = t + 273, а при точных расчётах — T = t + 273,15.
Уравнение описывает идеальный газ и его равновесные состояния, когда давление и температура определены для всего газа. Идеальность означает, что собственным объёмом молекул и их взаимодействием можно пренебречь. Если масса газа меняется, отношение pV/T уже не обязано сохраняться, хотя формула pV = νRT может применяться при учёте нового значения ν.
В таблице собраны обозначения, их физический смысл и единицы измерения. Перед вычислениями нужно проверить, согласованы ли единицы с выбранной формулой. Особенно это важно при использовании R, потому что её единица рассчитана на СИ.
| Обозначение или запись | Физический смысл | Единица СИ или условие |
|---|---|---|
| p | Давление газа | Па |
| V | Объём газа | м³ |
| T | Абсолютная температура | К |
| ν | Количество вещества | моль |
| R | Универсальная газовая постоянная | Дж/(моль·К) |
| pV/T = const | Соотношение для данной массы газа | Масса газа неизменна |
| pV = νRT | Уравнение состояния идеального газа | ν задано; температура в К |
Задача 1. Газ при T = 300 К занимает V = 2,0 л под давлением p = 100 кПа. Требуется найти pV/T. Поскольку это отношение рассчитывается в одной системе единиц, переведём давление и объём в СИ.
Ответ: pV/T ≈ 0,67 Па·м³/К. Эта величина будет такой же для любого состояния той же массы газа.
Задача 2. Газ перешёл из состояния p₁ = 100 кПа, V₁ = 3,0 л, T₁ = 300 К в состояние V₂ = 2,0 л, T₂ = 400 К. Нужно определить p₂. Масса газа постоянна, поэтому применяем равенство отношений для двух состояний.
Ответ: p₂ = 200 кПа. Давление выросло, потому что объём уменьшился, а температура увеличилась.
Задача 3. В сосуде V = 10 л находится идеальный газ при p = 200 кПа и T = 300 К. Найдём количество вещества по формуле ν = pV/(RT). Здесь обязательно нужны паскали и кубические метры.
Ответ: количество вещества газа примерно равно 0,80 моль. Размерность результата — моль, как и должно быть для ν.
Первая ошибка — подстановка температуры в градусах Цельсия. Её допускают, потому что в условии часто указана именно шкала Цельсия, но формула требует абсолютной температуры. Проверьте себя: перед вычислением рядом с T должна стоять единица К.
Вторая ошибка — считать pV/T постоянным при изменении массы газа. Такое рассуждение верно только для одной и той же массы, а добавление или выпуск газа меняет количество вещества. Уточните в условии, закрыт ли сосуд и сохраняется ли масса.
Третья ошибка — путать формулы p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂ и pV = νRT. Первая сравнивает два состояния неизменной массы, вторая учитывает количество вещества и универсальную постоянную. Сначала определите, дано одно состояние или два.
Четвёртая ошибка — не переводить давление и объём в СИ при работе с R. Килопаскали и литры удобны в условии, но не согласованы с R в Дж/(моль·К). Перед расчётом проверьте: давление в Па, объём в м³, температура в К.
Для работы с уравнением нужны понятия давления, объёма, температуры и количества вещества, а также перевод градусов Цельсия в кельвины. Оно опирается на молекулярно-кинетические представления о движении частиц газа. Формула используется при изучении уравнения Менделеева — Клапейрона и изопроцессов, в которых одна из величин сохраняется.
Почему в уравнение Клапейрона нельзя подставлять температуру в градусах Цельсия?
Уравнение связано с абсолютной температурой, отсчитываемой от абсолютного нуля, а шкала Цельсия имеет другой нулевой уровень. Поэтому температуру переводят в кельвины: T = t + 273.
В каких условиях величина pV/T остаётся постоянной?
Величина pV/T постоянна для одной и той же массы газа при переходе между равновесными состояниями. Для разных количеств газа её значение может быть другим.
Чем уравнение Клапейрона отличается от уравнения pV = νRT?
Запись pV/T = const сравнивает состояния фиксированной массы газа. Формула pV = νRT показывает, как давление, объём и температура зависят от количества вещества ν, причём R — универсальная газовая постоянная.
Как найти неизвестное давление, если известны параметры газа в двух состояниях?
Для одной и той же массы газа записывают p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂. Затем подставляют известные величины и выражают неизвестное давление, например p₂ = p₁V₁T₂/(T₁V₂).
Какие единицы нужно использовать при расчётах с универсальной газовой постоянной?
При использовании R ≈ 8,31 Дж/(моль·К) давление выражают в паскалях, объём — в кубических метрах, температуру — в кельвинах, а количество вещества — в молях.
1. Уравнение Клапейрона
