"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под редакцией Орлова В.А.
При движении по окружности скорость меняет направление, а если движение неравномерное — ещё и модуль. Поэтому ускорение такого тела удобно разложить на две составляющие: одна отвечает за изменение быстроты, другая — за поворот траектории. В вертикальной окружности к этому добавляется влияние силы тяжести: при подъёме и спуске меняются скорость и силы, необходимые для движения по траектории. Это помогает находить натяжение нити или реакцию опоры и проверять, сохранится ли контакт.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Неравномерное движение по окружности — движение по окружности, при котором модуль скорости меняется. При этом меняется и направление скорости: в каждой точке она направлена по касательной к траектории. Поэтому для описания такого движения нужно учитывать сразу два изменения, а не только то, становится ли тело быстрее или медленнее.
Тангенциальное ускорение — составляющая ускорения, направленная по касательной к траектории и отвечающая за изменение модуля скорости. Его удобно обозначать aₜ. Если модуль скорости растёт, эта составляющая направлена вдоль движения, а если уменьшается — против него; она помогает разбирать, как быстро тело разгоняется или тормозит.
Центростремительное ускорение — составляющая ускорения, направленная к центру окружности и отвечающая за изменение направления скорости. Его модуль равен aц = v²/R, где v — мгновенная скорость тела, а R — радиус окружности. Эта величина нужна, чтобы связать движение по кривой с равнодействующей сил в направлении к центру.
Вертикальная окружность — окружность, расположенная в вертикальной плоскости. При движении по ней сила тяжести по-разному направлена относительно касательной и радиуса в разных точках. Это понятие используют, чтобы выяснить, как меняется скорость и достаточно ли натяжения нити или реакции опоры для сохранения движения.
При неравномерном движении по окружности полное ускорение раскладывают на тангенциальную и центростремительную составляющие. Такое разложение работает, потому что изменение вектора скорости можно разделить на изменение его длины и поворот самого вектора. Первая часть связана с изменением модуля скорости, а вторая — с изменением направления. Полное ускорение получают сложением этих составляющих как векторов.
Центростремительное ускорение появляется не потому, что тело обязательно разгоняется, а потому, что направление скорости всё время поворачивается. За небольшой промежуток времени вектор скорости изменяется в сторону центра окружности, поэтому и ускорение направлено туда же. Оно перпендикулярно мгновенной скорости: скорость направлена по касательной, а центр лежит на радиусе. Чем больше скорость и чем меньше радиус, тем быстрее меняется направление, поэтому aц = v²/R.
В вертикальной окружности сила тяжести остаётся направленной вниз, но её проекции зависят от положения тела. В точках, где касательная направлена вверх или вниз, тяжесть может ускорять тело или тормозить его; в других точках часть тяжести направлена радиально. Именно касательная составляющая силы меняет скорость, поэтому при подъёме тело обычно замедляется, а при спуске ускоряется. Это следует из второго закона Ньютона: изменение скорости определяется равнодействующей сил.
Чтобы найти радиальное ускорение, второй закон Ньютона записывают отдельно вдоль направления к центру. В правой части такого уравнения стоит m v²/R, а слева — сумма проекций всех действующих сил на выбранную ось. Силы, направленные к центру, берут со знаком плюс, а направленные от центра — со знаком минус, если ось выбрана к центру. Это не новое взаимодействие, а способ учесть, какая равнодействующая нужна для движения по окружности.
В верхней и нижней точках ось к центру направлена по-разному, поэтому проекции сил тяжести, натяжения нити или реакции опоры надо определить заново. Например, для груза на нити в верхней точке к центру направлены и тяжесть, и натяжение; в нижней точке тяжесть направлена от центра, а натяжение — к нему. Из радиального уравнения находят натяжение или реакцию опоры. Если получилось отрицательное значение, предполагаемый контакт невозможен: нить провиснет или тело потеряет опору.
| Величина или условие | Верхняя точка | Нижняя точка | Промежуточная точка |
|---|---|---|---|
| Направление к центру окружности | Вниз | Вверх | Вдоль радиуса к центру |
| Проекция силы тяжести на радиальное направление | +mg | −mg | Зависит от положения |
| Радиальное уравнение второго закона Ньютона | T + mg = mv²/R | T − mg = mv²/R | Сумма радиальных проекций сил = mv²/R |
| Условие для силы натяжения или реакции опоры | T ≥ 0 или N ≥ 0 | T ≥ 0 или N ≥ 0 | T ≥ 0 или N ≥ 0 |
| Изменение скорости при движении по траектории | При спуске обычно растёт | При подъёме обычно уменьшается | Зависит от касательной проекции тяжести |
В таблице ось в каждом случае направлена к центру, поэтому знак проекции силы тяжести нужно сверять с направлением этой оси. Уравнение в промежуточной точке составляют так же: находят проекции всех сил на радиус и приравнивают их сумму к m v²/R. После решения проверьте, что натяжение или реакция опоры не отрицательны.
Задача 1. Тело движется по окружности радиусом 2 м со скоростью 4 м/с. Найдём центростремительное ускорение. Здесь дана скорость, а требуется характеристика поворота её направления, поэтому используем формулу aц = v²/R.
Ответ: 8 м/с², к центру окружности.
Задача 2. Радиус окружности равен 0,8 м, скорость увеличивается на 3 м/с за 2 с. Найдём aₜ, а затем aц при v = 6 м/с. Изменение скорости за время задаёт тангенциальную составляющую, а мгновенная скорость вместе с радиусом — центростремительную.
Ответ: aₜ = 1,5 м/с², aц = 45 м/с²; полное ускорение примерно 45,0 м/с².
Задача 3. Груз на нити движется по вертикальной окружности радиусом 1,2 м. В верхней точке скорость равна 5 м/с. Требуется найти натяжение и проверить, останется ли нить натянутой. Масса груза в условии не дана, поэтому численное значение силы определить нельзя; можно найти натяжение в расчёте на килограмм массы и проверить его знак.
Ответ: T ≈ 11,0m Н; нить натянута, численное значение T без массы не определяется.
Центростремительное ускорение иногда считают отдельной силой. Это путаница между причиной и результатом: ускорение возникает из-за равнодействующей приложенных сил, но само силой не является. Ошибка вероятна потому, что в задачах часто говорят о «центростремительной силе». Проверка: в уравнении Ньютона перечислите реальные силы, а ускорение запишите в правой части.
Другая ошибка — направлять центростремительное ускорение по касательной. Так происходит, если смешать направление скорости с направлением её изменения. Скорость в данной точке действительно касается окружности, но центростремительное ускорение направлено к центру. Проверьте себя: изобразите радиус к телу и проведите ускорение вдоль него внутрь.
Нельзя складывать тангенциальное и центростремительное ускорения как обычные числа, когда нужно найти полное ускорение. Они перпендикулярны, так как первое направлено по касательной, а второе — по радиусу. Их модули складывают по теореме Пифагора, а не арифметически. Проверка проста: нарисуйте два вектора под прямым углом и только затем найдите их равнодействующую.
В верхней и нижней точках нельзя автоматически оставлять одинаковые знаки проекций сил. Ось к центру в этих точках направлена в противоположные стороны относительно вертикали, поэтому проекция тяжести меняет знак. Ошибка появляется, если переносить готовое уравнение, не рисуя силы. Проверяйте каждый случай отдельно: задайте ось к центру, отметьте направления сил и лишь потом запишите проекции.
Для разбора движения по окружности нужны понятия вектора скорости и ускорения: важно различать направление движения и изменение скорости. Также нужно уметь применять второй закон Ньютона в проекциях и знать движение по окружности с постоянной скоростью, где уже используется центростремительное ускорение. Новые идеи пригодятся при анализе петли, груза на нити и тела на опоре. В таких задачах радиальное уравнение помогает вычислять натяжение или реакцию опоры и проверять сохранение контакта.
Почему при движении по окружности ускорение есть, даже если скорость постоянна по модулю?
Скорость — вектор, у которого есть и модуль, и направление. При движении по окружности направление скорости непрерывно меняется, поэтому меняется и сама скорость, а значит, есть ускорение.
Чем тангенциальное ускорение отличается от центростремительного?
Тангенциальное ускорение направлено по касательной и меняет модуль скорости. Центростремительное направлено к центру окружности и меняет направление скорости; его модуль равен v²/R.
Почему скорость тела меняется при движении по вертикальной окружности?
Сила тяжести в разных точках имеет разную составляющую вдоль касательной. При подъёме она обычно уменьшает скорость, а при спуске — увеличивает, поскольку сила тяжести совершает работу.
Как выбрать направление оси при записи уравнения для верхней и нижней точек?
Для радиального уравнения удобно направить ось к центру окружности: тогда ускорение равно v²/R и берётся со знаком плюс. Затем отдельно определите, куда относительно этой оси направлены тяжесть, натяжение нити и реакция опоры.
Как проверить, останется ли нить натянутой или тело не потеряет контакт с опорой?
Найдите натяжение нити или реакцию опоры из уравнения второго закона Ньютона. Полученное значение должно быть неотрицательным: нить не может толкать тело, а опора — притягивать его к себе.
§ 19. Неравномерное движение по окружности и вертикальной плоскости
