6. Применение закона сохранения энергии к движению тела под действием нескольких сил

Определения и обозначения

Механическая энергия — сумма кинетической и потенциальной энергий тела или системы тел: Eм = Eкин + Eп. Она показывает, сколько энергии связано с движением и взаимным расположением тел, поэтому с её помощью сравнивают начальное и конечное состояния.

Потенциальная энергия — энергия взаимодействия тел или частей системы, зависящая от их взаимного положения. Например, для тела у поверхности Земли Eп = mgh, а для пружины Eп = kx²/2; такие формулы позволяют заменить вычисление работы силы.

Консервативная сила — сила, работа которой определяется только начальным и конечным положением тела и может быть связана с потенциальной энергией. К ней относят силу тяжести и силу упругости, поэтому их работу удобно учитывать через изменение Eп, не разбирая траекторию.

Неконсервативная сила — сила, работа которой зависит от траектории; пример — сила трения. Её нельзя полностью заменить потенциальной энергией, поэтому работу такой силы записывают отдельным слагаемым, обычно со знаком минус.

Как это устроено

Теорема о работе и кинетической энергии утверждает: работа равнодействующей силы равна изменению кинетической энергии, A₁₂ = Eкин₂ − Eкин₁. Если действуют несколько сил, их работы складываются: A₁₂ = A₁ + A₂ + … Поэтому можно записать уравнение движения сразу для всей совокупности сил, не находя равнодействующую геометрически.

Работа силы тяжести зависит только от разности высот, потому что при подъёме или спуске важен вертикальный перенос тела, а не форма пути. Поэтому Aтяж = −(Eп₂ − Eп₁), и работу можно заменить изменением потенциальной энергии. Для силы упругости действует такая же идея: её работа связана с энергией пружины kx²/2.

Если на тело действуют только консервативные силы, после замены их работ получается Eкин₁ + Eп₁ = Eкин₂ + Eп₂. Это и есть закон сохранения механической энергии. При движении энергия не исчезает: уменьшение одного вида энергии полностью компенсируется увеличением другого.

Сила трения зависит от длины пройденного пути, поэтому она неконсервативна. При скольжении её работа Aтр = −Fтрs отрицательна и уменьшает механическую энергию: Eм₂ − Eм₁ = Aтр. Потерянная механическая энергия переходит главным образом во внутреннюю энергию соприкасающихся тел.

При одновременном действии разных сил сначала выбирают начальное и конечное состояния, затем записывают кинетические и потенциальные энергии каждого состояния. Внешняя сила добавляет в баланс свою работу, трение — отрицательную работу, а консервативные силы уже отражены через потенциальные энергии. Так учитываются начальная скорость, высота, деформация пружины и путь с трением в одном уравнении.

Учет различных сил в энергетическом методе

В таблице указано, какой формой энергии или работы удобнее представить действие каждой силы. Перед записью уравнения определите начальное и конечное состояния, а затем внесите только те величины, которые действительно изменились. Знак работы проверяйте по направлению силы и перемещения.

Разбор задач

1. Наклонная плоскость без трения. Тело массой m начинает скользить без начальной скорости с высоты h по гладкой наклонной плоскости. Требуется найти скорость у основания. Угол наклона здесь не понадобится, поскольку работа силы тяжести определяется только изменением высоты.

1. В начальном состоянии Eкин₁ = 0, Eп₁ = mgh; у основания Eп₂ = 0, если нулевой уровень выбран там.
2. Реакция опоры перпендикулярна перемещению, поэтому Aоп = 0 и в баланс не входит.
3. По сохранению энергии mgh = mv²/2, откуда v = √(2gh).

Ответ: скорость у основания v = √(2gh). Чем больше высота, тем больше запас энергии и конечная скорость.

2. Вертикальная пружина. Тело прикреплено к вертикальной пружине жёсткости k, пружину сжали на x и отпустили. Нужно найти скорость тела, когда деформация стала x₁. Выберем нулевой уровень гравитационной энергии в конечном положении.

1. Начальная энергия равна kx²/2, а конечная содержит mv²/2 и kx₁²/2.
2. При переходе между состояниями тело переместилось вверх на x − x₁, поэтому его гравитационная энергия увеличилась на mg(x − x₁).
3. Записываем kx²/2 = mv²/2 + kx₁²/2 + mg(x − x₁) и находим v = √((k(x² − x₁²) − 2mg(x − x₁))/m).

Ответ: формула справедлива, если выражение под корнем неотрицательно. Энергия пружины уменьшается, а часть высвободившейся энергии уходит на подъём тела.

3. Тяга, трение и наклонная плоскость. Брусок массой m тянут вверх по плоскости под углом α силой F вдоль плоскости, начальная скорость равна v₀. Коэффициент трения μ, путь s. Высота увеличивается на s sin α, а сила трения равна μmg cos α.

1. Начальная кинетическая энергия mv₀²/2, конечная — mv²/2; работа внешней силы равна Fs.
2. Трение совершает работу −μmg cos α · s, а сила тяжести увеличивает потенциальную энергию на mgs sin α.
3. Баланс: mv²/2 − mv₀²/2 = Fs − μmg cos α · s − mgsin α · s. Отсюда v = √(v₀² + 2Fs/m − 2μgs cos α − 2gs sin α).

Ответ: скорость определяется последней формулой, если подкоренное выражение неотрицательно. Работа тяги увеличивает механическую энергию, а трение и подъём уменьшают доступную для движения часть.

Типичные ошибки

Считать, что энергия сохраняется при трении. Так делают, потому что помнят формулу для консервативных сил. Но трение выполняет отрицательную работу, поэтому нужно записать Aтр = −Fтрs. Проверка: если путь и сила трения ненулевые, начальная и конечная механические энергии не могут быть равны без дополнительной работы.

Неверно выбирать знак потенциальной энергии тяжести. Знак зависит от выбранного нулевого уровня, а не от самой силы. Сравнивайте только разность Eп₂ − Eп₁: при подъёме она положительна, при спуске отрицательна. Полезно сначала отметить высоты обоих состояний.

Добавлять работу нормальной реакции на гладкой опоре. Реакция перпендикулярна перемещению вдоль неподвижной поверхности, поэтому её работа равна нулю. Ошибку допускают, видя силу на схеме и автоматически включая её в формулу. Проверьте угол между силой и перемещением: при 90° работа отсутствует.

Путать работу и изменение энергии. Работа консервативной силы заменяется противоположным изменением потенциальной энергии, а работа трения записывается отдельно. Если знак неясен, определите, увеличивает ли сила скорость или уменьшает её. Работа, направленная против перемещения, должна быть отрицательной.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны теорема о работе и кинетической энергии, формулы кинетической и потенциальной энергий и работа постоянной силы. Она опирается на описание сил и законы Ньютона, но часто позволяет обойтись без ускорения и времени движения. Энергетический метод пригодится при изучении колебаний, движения по наклонным и замкнутым траекториям, а также потерь энергии.

Что запомнить

• Механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий.
• Для консервативных сил сумма кинетической и потенциальной энергий сохраняется.
• Работу силы тяжести можно заменить уменьшением или увеличением потенциальной энергии.
• Работу силы упругости можно заменить изменением энергии деформации пружины.
• Работа силы трения отрицательна и уменьшает механическую энергию.
• При наличии внешних сил их работа изменяет механическую энергию системы.
• В энергетической задаче нужно выбрать начальное и конечное состояния и записать баланс энергий.