"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под редакцией Орлова В.А.
Неравномерное движение по окружности изучают, когда тело движется по круговой траектории, но его скорость меняется по модулю. Главный инструмент для нахождения скорости — закон сохранения механической энергии: она зависит от высоты тела. Чтобы определить силу реакции опоры и проверить, сохранится ли контакт, дополнительно используют второй закон Ньютона для радиального направления и условие N ≥ 0.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Неравномерное движение по окружности — движение по круговой траектории, при котором скорость изменяется по модулю. Направление скорости меняется всегда, а здесь дополнительно меняется её численное значение. Это помогает отличать такое движение от равномерного движения по окружности.
Механическая энергия — сумма кинетической и потенциальной энергий тела: E = Eₖ + Eₚ. Кинетическая энергия связана со скоростью, а потенциальная в поле тяжести — с высотой. Понятие нужно, чтобы заменить подробное рассмотрение движения удобным сравнением состояний тела.
Нормальная реакция опоры — сила, с которой траектория или опора действует на тело перпендикулярно поверхности. Она не даёт телу пересечь опору и обычно направлена от поверхности к телу. Её находят, когда требуется определить нагрузку на направляющую или возможность сохранения контакта.
Условие отрыва — равенство нулю нормальной реакции опоры в момент потери контакта тела с траекторией или опорой. При N = 0 поверхность уже не давит на тело. Если расчёт даёт N < 0, это признак того, что контакт должен был исчезнуть раньше.
Сначала выбирают систему отсчёта, связанную с Землёй, и описывают положение тела относительно центра окружности. Нулевой уровень потенциальной энергии можно провести через любую удобную высоту, чаще всего через нижнюю точку. Угол θ удобно отсчитывать от нижнего радиуса: тогда высота тела над нижней точкой равна h = R(1 − cos θ), что сразу даёт h = 0 внизу и h = 2R наверху.
На гладкой траектории сила реакции направлена перпендикулярно мгновенному перемещению тела. Поэтому её работа равна нулю: сила не увеличивает и не уменьшает кинетическую энергию вдоль пути. Сила тяжести совершает работу, из-за чего при подъёме скорость уменьшается, а при спуске возрастает; энергия при этом переходит между кинетической и потенциальной.
Запишем сохранение механической энергии для начальной точки и произвольного положения: ½mv₀² + mgh₀ = ½mv² + mgh. После сокращения на массу получаем v² = v₀² + 2g(h₀ − h). Значит, скорость определяется разностью высот, а не самим выбором нулевого уровня энергии.
Одной энергетической формулы недостаточно, если нужно найти реакцию опоры. В радиальном направлении тело имеет центростремительное ускорение aₙ = v²/R, поэтому применяют второй закон Ньютона и складывают проекции сил к центру окружности. Для внутренней поверхности при угле θ получается N + mg cos θ = mv²/R; затем найденную реакцию проверяют условием N ≥ 0.
| Величина или условие | Произвольная точка | Нижняя точка | Верхняя точка |
|---|---|---|---|
| Высота над нижней точкой при угле θ от нижнего радиуса | h = R(1 − cos θ) | 0 | 2R |
| Связь скорости с начальной скоростью и высотой | v² = v₀² + 2g(h₀ − h) | Наибольшая скорость при спуске | Наименьшая скорость при подъёме |
| Радиальное уравнение движения | N + mg cos θ = mv²/R | N − mg = mv²/R | N + mg = mv²/R |
| Условие сохранения контакта | N ≥ 0 | Проверяется по найденной реакции | Критическое условие: N = 0 |
Сначала по высоте определяют скорость в нужной точке, а затем подставляют её в радиальное уравнение. Для нижней точки cos θ = 1, для верхней cos θ = −1. Если реакция получается отрицательной, движение по внутренней окружности в этой точке невозможно без дополнительной связи.
Условие. Шарик движется по гладкой вертикальной окружности радиуса R, начинает движение на высоте h₀ и имеет начальную скорость v₀. Найти скорость на высоте h.
Ответ: v = √(v₀² + 2g(h₀ − h)). При h < h₀ тело разгоняется, а при h > h₀ замедляется.
Условие. Тело движется по внутренней поверхности вертикальной окружности. Скорость внизу равна v₀. Найти реакции N₁ внизу и N₂ наверху.
Ответ: N₁ = m(g + v₀²/R), N₂ = m((v₀² − 4gR)/R − g). Верхняя реакция может оказаться нулевой или отрицательной, поэтому контакт нужно проверять.
Условие. Найти минимальную скорость в нижней точке, чтобы тело прошло полный оборот по внутренней поверхности окружности радиуса R без отрыва.
Ответ: vниз, min = √(5gR). При такой скорости реакция в верхней точке равна нулю, а в остальных точках неотрицательна, поэтому контакт сохраняется на всём пути.
Ошибка — считать, что механическая энергия не сохраняется только потому, что меняется направление скорости. Направление действительно меняется, но нормальная реакция перпендикулярна перемещению и работы не совершает. Проверка проста: отдельно выясните, какая сила совершает работу вдоль траектории.
Ошибка — забывать изменение высоты или использовать разные нулевые уровни в разных точках. Потенциальная энергия зависит от выбранного уровня, но разность энергий должна вычисляться с одним и тем же отсчётом. Проверьте, что в формуле присутствует разность h₀ − h.
Ошибка — искать реакцию опоры по касательному, а не по радиальному направлению. Реакция связана с необходимым центростремительным ускорением, поэтому в уравнении должна появиться величина v²/R. Перед записью закона Ньютона укажите направление к центру и спроецируйте силы на него.
Ошибка — считать тело связанным с окружностью при отрицательной реакции. Обычная опора не может тянуть тело, поэтому N < 0 означает потерю контакта и переход к свободному движению. После расчёта всегда проверяйте условие N ≥ 0.
Для этой темы нужны закон сохранения механической энергии, формулы кинетической и потенциальной энергии, второй закон Ньютона и выражение для центростремительного ускорения. Она соединяет энергетический способ нахождения скорости с силовым анализом движения по окружности. Метод применяют при изучении кабинок аттракционов, тел на лопастях и треках, а также задач на вертикальный круг и невесомость.
Почему механическая энергия сохраняется, если скорость тела по окружности меняется?
При движении по гладкой окружности скорость может изменяться из-за работы силы тяжести, то есть кинетическая энергия превращается в потенциальную и обратно. Нормальная реакция направлена перпендикулярно перемещению и работы не совершает.
Как выбрать нулевой уровень потенциальной энергии?
Нулевой уровень можно выбрать произвольно: например, принять за него нижнюю точку окружности. Главное — использовать один и тот же уровень во всех точках задачи; результат для скорости от этого выбора не изменится.
Почему скорость находят по закону сохранения энергии, а реакцию опоры — по второму закону Ньютона?
Закон сохранения энергии связывает скорость с изменением высоты, но не содержит неизвестную силу реакции. Реакцию находят из радиального уравнения второго закона Ньютона, где учитывается центростремительное ускорение v²/R.
Что означает отрицательное значение нормальной реакции?
Отрицательная реакция означала бы, что опора должна тянуть тело, а обычная поверхность этого делать не может. Значит, контакт потерян, и найденное значение нельзя использовать для движения по окружности.
Почему условие минимальной скорости для полного оборота проверяют в верхней точке?
При подъёме к верхней точке скорость обычно уменьшается, а сила тяжести помогает удерживать тело на траектории всё слабее. Поэтому именно сверху контакт становится наиболее трудным; на границе отрыва там N = 0.
5. Применение закона сохранения энергии к неравномерному движению по окружности
