"Физика (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под ред. Орлова В.А.
При движении тела по вертикальной окружности скорость может изменяться: при подъёме сила тяжести уменьшает её, а при спуске увеличивает. Закон сохранения механической энергии позволяет найти скорость в любой точке по высоте, не рассматривая движение по частям. Затем по скорости определяют центростремительное ускорение и силу реакции опоры. Эти приёмы нужны для решения задач о желобах, петлях, маятниках и аттракционах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Механическая энергия — сумма кинетической и потенциальной энергий тела: E = Eк + Eп. Она показывает общий запас энергии, связанный с движением и положением тела. Если трения нет, этот запас не изменяется, а энергия только переходит из одного вида в другой.
Кинетическая энергия — энергия движения тела: Eк = ½mv², где m — масса, а v — скорость. Чем больше масса или скорость, тем больше кинетическая энергия. В задачах она показывает, какая часть энергии связана с движением тела в данный момент.
Потенциальная энергия — энергия положения тела в поле тяжести: Eп = mgh. Здесь h — высота относительно выбранного нулевого уровня. Эта формула нужна, чтобы связать изменение высоты с изменением скорости.
Неравномерное движение по окружности — движение по окружности, при котором скорость меняется по величине. На вертикальной окружности это происходит из-за действия силы тяжести. Для описания такого движения нужно одновременно учитывать высоту, скорость и направление ускорения.
При движении по вертикальной окружности тело то поднимается, то опускается. Когда тело движется вверх, сила тяжести направлена частично против скорости и совершает отрицательную работу, поэтому кинетическая энергия уменьшается. При спуске сила тяжести помогает движению, её работа положительна, а скорость обычно возрастает.
Для любых двух точек траектории без трения записывают сохранение механической энергии: ½mv₀² + mgh₀ = ½mv² + mgh. Слева указана энергия в начальной точке, справа — энергия в выбранной точке. Равенство означает, что потеря одного вида энергии компенсируется увеличением другого.
Перенесём слагаемые и разделим равенство на массу: v² = v₀² + 2g(h₀ − h). Масса сокращается, потому что и кинетическая, и потенциальная энергия пропорциональны m. Поэтому для тела любой массы при одинаковой начальной скорости и одинаковой разности высот получается одна и та же скорость, если сопротивлением воздуха и трением пренебречь.
Траектория остаётся криволинейной даже тогда, когда скорость меняется по величине. Для движения по окружности необходимо центростремительное ускорение, направленное к центру: aц = v²/R. Сила тяжести может изменять величину скорости, а реакция опоры или натяжение нити обеспечивает нужное искривление движения.
После нахождения скорости вычисляют центростремительное ускорение по формуле aц = v²/R. Затем составляют второй закон Ньютона вдоль радиуса, отдельно учитывая силы, направленные к центру и от центра. Так можно найти реакцию опоры N, но знак каждого слагаемого зависит от выбранной точки и направления радиуса.
В таблице h₀ и v₀ относятся к начальной точке, а h и v — к произвольной точке окружности. Обычно нулевой уровень потенциальной энергии выбирают в нижней точке, но для закона сохранения энергии подойдёт любой единый уровень. Сначала по таблице находят скорость, затем используют её для расчёта ускорения или сил.
| Величина или связь | Начальная точка (h₀, v₀) | Произвольная точка (h, v) | Что следует |
|---|---|---|---|
| Кинетическая энергия | Eк₀ = ½mv₀² | Eк = ½mv² | Меняется при изменении скорости |
| Потенциальная энергия | Eп₀ = mgh₀ | Eп = mgh | Меняется при изменении высоты |
| Механическая энергия | E₀ = ½mv₀² + mgh₀ | E = ½mv² + mgh | При отсутствии трения E₀ = E |
| Закон сохранения энергии | ½mv₀² + mgh₀ = ½mv² + mgh | Энергия не исчезает, а переходит между видами | |
| Скорость тела через высоту точки | v = √(v₀² + 2g(h₀ − h)) | Высота определяет изменение скорости | |
| Центростремительное ускорение после нахождения скорости | aц = v²/R | Ускорение направлено к центру | |
Тело скользит без трения по вертикальной окружности радиусом R. В нижней точке его скорость равна v₀. Найдём скорость в точке на высоте h над нижней точкой. Выберем нижнюю точку за нулевой уровень потенциальной энергии.
Ответ: v = √(v₀² − 2gh). Если подкоренное выражение отрицательно, тело не сможет достичь такой высоты с заданной начальной скоростью.
Груз движется по внутренней поверхности вертикального кругового желоба. В нижней точке скорость v₀, радиус окружности R. Требуется найти реакции желоба внизу и вверху. Сначала определим скорость наверху: перепад высот равен 2R, поэтому vв² = v₀² − 4gR.
Ответ: Nн = m(v₀²/R + g), Nв = m(v₀²/R − 5g), если контакт с желобом сохраняется. Отрицательное значение Nв означает отрыв до верхней точки.
Найдём минимальную скорость в нижней точке, чтобы тело не оторвалось от внутренней поверхности вверху. Минимум достигается на границе контакта, когда N = 0, поэтому в верхней точке vв² = gR.
Ответ: минимальная скорость внизу v₀ = √(5gR), а минимальная высота старта H = 5R/2.
Ошибка — считать скорость постоянной только из-за круговой траектории. Её допускают, путая форму движения с равномерностью; проверить себя можно вопросом, совершает ли сила тяжести работу на данном участке.
Ошибка — записывать потенциальную энергию с разными нулевыми уровнями. Тогда сравнение энергий становится неверным; нужно заранее выбрать один уровень и использовать его во всех точках.
Ошибка — приравнивать потенциальные энергии в разных точках, забывая о кинетической. При изменении высоты меняется и скорость, поэтому сравнивать следует полные механические энергии.
Ошибка — применять формулу центростремительной силы без направлений. Сначала выберите направление к центру за положительное, изобразите силы и только потом составляйте уравнение по радиусу.
Для темы нужны кинетическая и потенциальная энергия, работа силы, закон сохранения механической энергии и формулы движения по окружности. Эти знания объединяются в одном решении: энергия даёт скорость, а динамика — силы и ускорение.
Приёмы применяются к движению спутников, маятников, аттракционов и тела по вертикальной петле. В следующих задачах закон сохранения энергии часто используют вместе со вторым законом Ньютона, особенно при проверке контакта тела с опорой.
Почему движение по окружности может быть неравномерным?
Окружность задаёт форму траектории, но не требует постоянной скорости. На вертикальной окружности сила тяжести на одних участках направлена против движения и уменьшает скорость, а на других помогает движению и увеличивает её.
Можно ли выбрать любой уровень нулевой потенциальной энергии?
Да, нулевой уровень выбирают произвольно, например на уровне нижней точки. Главное — использовать один и тот же уровень для всех точек задачи, потому что изменяется только общий отсчёт энергии, а разности потенциальных энергий остаются прежними.
Почему масса тела сокращается при нахождении скорости через закон сохранения энергии?
В уравнение входят кинетическая энергия ½mv² и потенциальная энергия mgh. Масса является множителем у всех слагаемых, поэтому после деления на m она сокращается. Скорость определяется изменением высоты и начальной скоростью, если сопротивлением можно пренебречь.
Как понять, не оторвётся ли тело от круговой траектории?
Нужно записать второй закон Ньютона в радиальном направлении и найти силу реакции опоры. Если в нужной точке расчётная реакция получается отрицательной, контакт невозможен: тело оторвётся. На верхней точке внутренней окружности условие контакта обычно записывают как v² ≥ gR.
Почему одного закона сохранения энергии недостаточно для нахождения силы реакции опоры?
Закон сохранения энергии даёт скорость, но не связывает силы с кривизной траектории. Для реакции опоры дополнительно нужен второй закон Ньютона, записанный по направлению к центру окружности.
5. Применение закона сохранения энергии к неравномерному движению по окружности
