6. Применение закона сохранения энергии к движению тела под действием нескольких сил

Определения и обозначения

Механическая энергия — сумма кинетической и потенциальной энергий тела или системы тел: Eм = Eк + Eп. Она показывает, сколько энергии связано с движением и положением тел. Это основная величина энергетического метода.

Консервативная сила — сила, работа которой зависит только от начального и конечного положений тела, а не от траектории. К ней относятся сила тяжести и сила упругости. Для таких сил удобно вводить потенциальную энергию.

Неконсервативная сила — сила, работа которой зависит от траектории движения. Пример — сила трения: при движении она направлена против перемещения, поэтому её работа обычно отрицательна и уменьшает механическую энергию.

Изменение механической энергии — разность конечной и начальной энергий: ΔEм = Eм2 − Eм1. Если действуют неконсервативные силы, то ΔEм равно их суммарной работе. Так можно определить, какая часть энергии потеряна или приобретена.

Как это устроено

Начнём с теоремы о кинетической энергии: изменение кинетической энергии тела равно сумме работ всех действующих сил, ΔEк = ΣA. Это следует из того, что работа силы изменяет скорость тела, а значит, и его кинетическую энергию. Теорема справедлива независимо от того, какие именно силы действуют.

Работу силы тяжести можно выразить через потенциальную энергию: Aтяж = −ΔEп,тяж. Если тело опускается, сила тяжести совершает положительную работу, а потенциальная энергия уменьшается. Аналогично для пружины Aупр = −ΔEп,упр: при распрямлении пружина отдаёт энергию телу.

Подставим эти связи в теорему о кинетической энергии и перенесём изменения потенциальных энергий в левую часть. Получим ΔEк + ΔEп = Aнеконсервативных сил. Так как слева стоит изменение механической энергии, итоговая формула имеет вид ΔEм = ΣAнеконсервативных сил.

Если неконсервативных сил нет или их суммарная работа равна нулю, ΔEм = 0 и механическая энергия сохраняется. При трении работа отрицательна, поэтому Eм уменьшается. Исчезнувшая механическая энергия не пропадает: она превращается во внутреннюю энергию тел и окружающей среды.

Для решения задачи сначала выберите начальное и конечное состояния, например момент отпускания и момент максимального сжатия пружины. Затем запишите все виды энергии в каждом состоянии и отдельно добавьте работу сил, не включённых в потенциальную энергию. После этого проверьте знаки, сократите известные величины и выразите искомую.

Работа сил и изменение механической энергии

Сначала определите, какие силы являются консервативными, и включите их потенциальные энергии в Eм. Работу трения и других неконсервативных сил записывайте отдельно, не добавляя их потенциальную энергию.

Знак работы помогает проверить результат: положительная работа увеличивает механическую энергию, отрицательная уменьшает её. Если тело движется по горизонтали, потенциальная энергия тяжести не меняется, но работа трения всё равно может изменить энергию.

Разбор задач

Падение тела

Условие: тело падает без начальной скорости с высоты h. Сопротивлением воздуха можно пренебречь. Найти скорость v перед ударом о землю.

1. Выберем уровень земли нулевым для потенциальной энергии.
2. В начале Eм1 = mgh, так как скорость равна нулю.
3. Перед ударом Eм2 = mv²/2, поскольку высота равна нулю.
4. Сопротивления нет, поэтому Eм1 = Eм2: mgh = mv²/2.
5. После сокращения массы получаем v = √(2gh).

Ответ: скорость перед ударом равна v = √(2gh).

Скольжение по горизонтали

Условие: брусок движется со скоростью v₀ по горизонтальной поверхности и останавливается из-за трения. Коэффициент трения равен μ. Найти путь s до остановки.

1. Начальная механическая энергия равна mv₀²/2, конечная — нулю.
2. Сила трения Fтр = μmg, а её работа Aтр = −μmgs.
3. По формуле изменения механической энергии mvкон²/2 − mv₀²/2 = Aтр подставим vкон = 0.
4. Получаем −mv₀²/2 = −μmgs и сокращаем массу.
5. Искомый путь: s = v₀²/(2μg).

Ответ: брусок пройдёт s = v₀²/(2μg).

Движение к пружине по наклонной плоскости

Условие: тело массой m отпускают без начальной скорости на наклонной плоскости под углом α. Оно движется вниз расстояние x до максимального сжатия пружины жёсткостью k; в начале пружина не деформирована. Коэффициент трения равен μ. Найти x.

1. При движении вниз тело теряет потенциальную энергию: ΔEп,тяж = −mgx sin α.
2. В конце скорость равна нулю, а энергия пружины равна kx²/2.
3. Работа трения отрицательна: Aтр = −μmg cos α · x.
4. Составим баланс: mgx sin α = kx²/2 + μmg cos α · x.
5. Для ненулевого x разделим равенство на x и получим x = 2mg(sin α − μ cos α)/k, если движение вниз возможно.

Ответ: максимальное сжатие пружины определяется формулой x = 2mg(sin α − μ cos α)/k.

Типичные ошибки

Считать энергию сохраняющейся при трении. Трение совершает отрицательную работу, поэтому механическая энергия уменьшается. Проверьте, есть ли в условии трение или сопротивление.

Учитывать работу тяжести или упругости вместе с их потенциальной энергией. Это двойной учёт одного и того же вклада. Выберите один способ: либо работа силы, либо изменение соответствующей потенциальной энергии.

Неверно ставить знак работы трения. При движении сила трения направлена против перемещения, поэтому Aтр = −Fтрs. Проверьте направление силы на схеме и убедитесь, что работа отрицательна.

Забывать потенциальную энергию. В начальном или конечном состоянии тело может находиться на высоте или сжимать пружину. Составьте список энергий для обоих состояний до записи уравнения.

Связь с другими темами

Для применения энергетического метода нужны теорема о кинетической энергии, формулы кинетической и потенциальной энергий, а также понятие работы силы. Эти знания объясняют, почему отдельные силы можно заменить изменением энергии.

Тема помогает решать задачи о падении, движении по наклонной плоскости, сжатии пружины и потерях энергии при трении. Один энергетический баланс объединяет разные виды механического движения.

Дальше этот подход используется при изучении превращений энергии и закона сохранения полной энергии. Механическая энергия рассматривается как часть более общего энергетического баланса.

Что запомнить

• Изменение кинетической энергии равно сумме работ всех действующих сил.
• Работу консервативной силы можно выразить через изменение потенциальной энергии.
• При отсутствии неконсервативных сил механическая энергия сохраняется.
• Работа силы трения обычно уменьшает механическую энергию.
• Для нескольких сил учитывают все виды энергии и работу сил, не включённых в потенциальную энергию.
• Начальное и конечное состояния нужно выбирать так, чтобы энергетический баланс был простым.