"Физика (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под ред. Орлова В.А.
При движении по окружности скорость тела меняет направление, а при неравномерном движении меняется ещё и её модуль. Поэтому ускорение такого тела складывается из двух составляющих: тангенциальная отвечает за изменение быстроты, нормальная — за поворот скорости к центру окружности. Зная радиус и скорость, можно найти нормальное ускорение, а по изменению скорости — тангенциальное. Эти величины помогают описывать повороты транспорта, вращение механизмов и движение спутников.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Неравномерное движение по окружности — движение по окружности, при котором модуль скорости меняется со временем. Скорость здесь всё время направлена по касательной, но тело может двигаться по этой касательной быстрее или медленнее. Это понятие нужно, чтобы отличать изменение быстроты от поворота направления скорости.
Угловая скорость ω характеризует быстроту изменения угла поворота радиуса-вектора — отрезка от центра окружности до тела. Её связывает с линейной скоростью формула ω = v/R, или равносильно v = ωR. Угловая скорость показывает, насколько быстро тело проходит угловой путь, а линейная — какой путь вдоль окружности оно проходит за секунду.
Тангенциальное ускорение aₜ — составляющая ускорения, направленная по касательной к окружности и характеризующая изменение модуля скорости. Если тело разгоняется, она направлена по движению, а при замедлении — против него. Эта составляющая нужна, чтобы описать изменение быстроты, не смешивая его с поворотом траектории.
Нормальное ускорение aₙ — составляющая ускорения, направленная к центру окружности и характеризующая изменение направления скорости. Его модуль равен aₙ = v²/R. Даже если тело не разгоняется и не тормозит, нормальное ускорение может быть ненулевым: оно отвечает за поворот скорости при движении по кривой.
Скорость тела при движении по окружности направлена по касательной к траектории. Когда тело переходит в соседнюю точку окружности, касательная поворачивается, поэтому меняется направление вектора скорости. Это происходит даже при неизменном модуле скорости и означает, что ускорение есть и при равномерном движении по окружности. Если же одновременно изменяется и модуль, движение становится неравномерным.
Изменение модуля скорости вызывает тангенциальное ускорение. За небольшой промежуток времени оно показывает, насколько быстро тело разгоняется или замедляется; для среднего ускорения используют aₜ = Δv/Δt. Его направление совпадает с касательной, потому что именно вдоль этой линии меняется быстрота движения. При росте скорости aₜ направлено по движению, при уменьшении — в противоположную сторону.
Изменение направления скорости вызывает нормальное ускорение. В соседние моменты скорость направлена по разным касательным, а изменение этих векторов оказывается направлено внутрь поворота — к центру окружности. Поэтому нормальное ускорение не направлено вдоль движения и не разгоняет тело по траектории. Его модуль задаётся формулой aₙ = v²/R: при большей скорости поворот скорости происходит интенсивнее, а при большем радиусе траектория изгибается слабее.
Тангенциальное и нормальное ускорения направлены под прямым углом: одно лежит вдоль касательной, другое — вдоль радиуса. Полное ускорение получается сложением этих векторов, поэтому его направление обычно не совпадает ни с касательной, ни с радиусом. Модуль полного ускорения вычисляют по теореме Пифагора: a = √(aₜ² + aₙ²). Так учитываются одновременно изменение быстроты и изменение направления движения.
Угловые характеристики позволяют выразить линейные через радиус окружности. Из связи скорости и угловой скорости получаем v = ωR, а подстановка этой формулы в выражение для нормального ускорения даёт aₙ = ω²R. Если угловая скорость изменяется, вводят угловое ускорение ε; оно связано с тангенциальным ускорением формулой aₜ = εR. При изменении скорости присутствуют обе составляющие, поэтому результирующее ускорение в общем случае не направлено к центру.
| Характеристика | Обозначение и формула | Направление | Что характеризует |
|---|---|---|---|
| Линейная скорость | v = ωR | По касательной | Быстроту движения вдоль окружности |
| Угловая скорость | ω = v/R | Вдоль оси вращения | Быстроту изменения угла поворота |
| Тангенциальное ускорение | aₜ = Δv/Δt; aₜ = εR | По касательной | Изменение модуля скорости |
| Нормальное ускорение | aₙ = v²/R; aₙ = ω²R | К центру окружности | Изменение направления скорости |
| Полное ускорение | a = √(aₜ² + aₙ²) | По векторной сумме составляющих | Общее изменение скорости |
Сначала определите, что требуется найти: изменение быстроты связано с aₜ, а поворот скорости — с aₙ. Формулы с ω удобны, когда дана угловая скорость, а формулы с v — когда дана линейная. Если нужны обе составляющие, найдите их отдельно и только затем вычисляйте полное ускорение.
Задача 1. Тело движется по окружности радиусом 2 м со скоростью 6 м/с. Найдите нормальное ускорение. Нужно использовать именно формулу для поворота скорости, потому что известны радиус и линейная скорость. Подставим данные и проверим, что единицы результата соответствуют ускорению.
Ответ: нормальное ускорение равно 18 м/с².
Задача 2. Скорость тела на окружности радиусом 0,5 м увеличилась с 2 до 5 м/с за 3 с. Найдите среднее тангенциальное ускорение и нормальное ускорение в конце этого интервала. Сначала используем изменение модуля скорости и время, а затем — конечную скорость и радиус. Это разные ускорения, поэтому подставлять одни и те же данные в одну формулу нельзя.
Ответ: среднее тангенциальное ускорение — 1 м/с², конечное нормальное — 50 м/с².
Задача 3. Тело движется по окружности радиусом 4 м. Его угловая скорость равна 3 рад/с, а угловое ускорение — 2 рад/с². Определите линейную скорость, тангенциальное, нормальное и полное ускорения. Данные заданы через угловые величины, поэтому сначала перейдём к линейным характеристикам. Затем сложим перпендикулярные составляющие ускорения по теореме Пифагора.
Ответ: v = 12 м/с, aₜ = 8 м/с², aₙ = 36 м/с², a ≈ 36,9 м/с².
Ошибка — считать ускорение нулевым, если модуль скорости постоянен. Так рассуждают, когда забывают, что скорость — вектор и при движении по окружности меняет направление. Проверьте себя: если траектория поворачивает, меняется направление скорости, значит, есть нормальное ускорение. При постоянном модуле оно равно v²/R.
Ошибка — путать тангенциальное и нормальное ускорения. Оба связаны со скоростью, поэтому легко принять их за одно и то же, но они отвечают за разные изменения: быстроты и направления. Чтобы проверить себя, вспомните направления: aₜ идёт по касательной, aₙ — к центру. Если в задаче меняется модуль скорости, ищите тангенциальную составляющую.
Ошибка — направлять нормальное ускорение по касательной или от центра. Иногда ускорение представляют как направление движения или как силу, «выталкивающую» тело наружу. Но нормальное ускорение описывает поворот скорости и всегда направлено к центру окружности. Проверьте рисунок или рассуждение: его направление должно быть перпендикулярно касательной и обращено внутрь траектории.
Ошибка — складывать модули тангенциального и нормального ускорений арифметически. Это кажется удобным, но составляющие взаимно перпендикулярны, поэтому их модули не образуют одну прямую. Для полного ускорения используйте теорему Пифагора: a = √(aₜ² + aₙ²). Проверка: результат должен быть не меньше каждой составляющей, но обычно меньше их арифметической суммы.
Для изучения движения по окружности нужны понятия вектора скорости и ускорения: скорость задаёт направление движения, а ускорение описывает изменение скорости. Также пригодятся формулы равномерного движения по окружности и связь линейных и угловых величин. Эти знания помогают понять, почему даже при постоянной быстроте на повороте появляется ускорение.
Разделение ускорения на составляющие используют при изучении движения под действием сил: по ускорению можно выяснять, как силы меняют движение тела. Тот же подход помогает описывать движение спутников, для которых важно ускорение к центру орбиты. Он пригодится и при рассмотрении вращения тел, где угловые характеристики связывают с движением отдельных точек.
Почему тело ускоряется, если оно движется по окружности с постоянной скоростью?
Скорость — векторная величина: у неё есть и модуль, и направление. При движении по окружности направление скорости непрерывно меняется, поэтому меняется и сама скорость, а значит, тело ускоряется.
Чем тангенциальное ускорение отличается от нормального?
Тангенциальное ускорение направлено по касательной и показывает, как меняется модуль скорости. Нормальное ускорение направлено к центру окружности и показывает, как меняется направление скорости.
Куда направлено нормальное ускорение?
Нормальное ускорение направлено от тела к центру окружности. Оно перпендикулярно мгновенной скорости, которая направлена по касательной.
Как найти полное ускорение при неравномерном движении по окружности?
Сначала найдите тангенциальное и нормальное ускорения. Они перпендикулярны, поэтому модуль полного ускорения равен √(aₜ² + aₙ²), а направление определяют по их векторной сумме.
Как связаны угловая скорость и линейная скорость?
Линейная скорость равна произведению угловой скорости на радиус: v = ωR. Чем больше радиус при той же угловой скорости, тем быстрее движется тело вдоль окружности.
§ 19. Неравномерное движение по окружности
