"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под редакцией Орлова В.А.
Центр тяжести системы материальных точек — точка, в которой можно считать приложенной равнодействующую сил тяжести, действующих на все точки системы. Его положение зависит не только от координат точек, но и от их масс: более тяжёлые точки сильнее влияют на результат. Чтобы найти центр тяжести, складывают произведения масс на координаты и делят на общую массу системы. Этот способ помогает анализировать равновесие и устойчивость тел.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система материальных точек — несколько точек с заданными массами и положением, рассматриваемых как единое целое. Каждую точку описывают её массой и координатами, а расстояниями между точками можно пренебречь, если размеры объектов несущественны для задачи. Такое описание позволяет изучать распределение массы без подробного рассмотрения формы тел. Оно нужно, чтобы применять общие формулы к нескольким объектам сразу.
Центр тяжести системы — точка, к которой можно мысленно приложить равнодействующую сил тяжести всех точек системы. Равнодействующая — одна сила, действие которой эквивалентно совместному действию нескольких сил. В однородном поле тяжести сила тяжести каждой точки направлена одинаково, поэтому силы можно заменить одной. Центр тяжести указывает место приложения этой равнодействующей.
Радиус-вектор центра тяжести — вектор, задающий положение этой точки относительно выбранного начала координат. Его обозначают, например, rцт; радиус-векторы отдельных точек обозначают r₁, r₂ и далее. Выбор начала координат меняет значения векторов, но не физическое положение самого центра. Радиус-вектор нужен для записи общей формулы в векторном виде.
Координаты центра тяжести — средние координаты точек системы, взвешенные пропорционально их массам. Это значит, что координата каждой точки входит в расчёт с множителем, равным её массе. Поэтому точка с большей массой оказывает более сильное влияние на результат. Координаты удобны, когда требуется определить положение центра на прямой, в плоскости или в пространстве.
На каждую точку действует сила тяжести, направленная вертикально вниз. В однородном поле ускорение свободного падения для всех точек одинаково, поэтому силы можно сложить как параллельные векторы. Получается одна равнодействующая, равная сумме сил тяжести. Если приложить её в центре тяжести, она создаст такой же суммарный момент, как исходные силы, и заменит их в расчёте движения или равновесия.
Момент силы зависит от силы и плеча — расстояния от оси до линии действия силы. Чтобы равнодействующая заменила несколько сил, её момент относительно выбранной оси должен равняться сумме моментов этих сил. При одинаковом направлении сил тяжести моменты пропорциональны массам точек и их положениям относительно оси. Из равенства моментов следует радиус-вектор rцт = (m₁r₁ + m₂r₂ + … + mₙrₙ)/(m₁ + m₂ + … + mₙ), где знаменатель — полная масса системы.
Обычное среднее координат подошло бы лишь тогда, когда все точки влияют на результат одинаково. Но сила тяжести точки пропорциональна её массе: тяжёлая точка действует сильнее лёгкой и должна иметь больший «вес» в расчёте положения центра. Поэтому координату каждой точки умножают на её массу, а затем делят сумму таких произведений на суммарную массу. Это взвешенное среднее учитывает и положение, и вклад каждой точки.
В координатной записи формулу применяют отдельно к каждой оси: xцт = (m₁x₁ + m₂x₂ + … + mₙxₙ)/M, yцт = (m₁y₁ + m₂y₂ + … + mₙyₙ)/M, zцт = (m₁z₁ + m₂z₂ + … + mₙzₙ)/M, где M = m₁ + m₂ + … + mₙ. Для движения вдоль прямой достаточно формулы для x, а для системы в плоскости — формул для x и y. Нулевая координата точки просто даёт нулевое слагаемое. Единицы измерения координат в ответе должны совпадать с единицами исходных координат.
Для двух точек радиус-вектор центра является взвешенным средним двух радиус-векторов, поэтому он лежит на соединяющем их отрезке. Если расстояния от центра до точек равны d₁ и d₂, равенство моментов даёт m₁d₁ = m₂d₂, то есть d₁/d₂ = m₂/m₁. Значит, центр расположен ближе к точке с большей массой. Для нескольких точек действует тот же принцип: положение каждой точки учитывается вместе с её массой, а координаты складываются по компонентам.
| Случай или величина | Формула или условие | Что показывает |
|---|---|---|
| Радиус-вектор центра тяжести | rцт = Σmᵢrᵢ/Σmᵢ | Положение центра с учётом масс и радиус-векторов всех точек. |
| Координата x центра тяжести | xцт = Σmᵢxᵢ/Σmᵢ | Взвешенное среднее координат по оси x. |
| Координата y центра тяжести | yцт = Σmᵢyᵢ/Σmᵢ | Взвешенное среднее координат по оси y. |
| Координата z центра тяжести | zцт = Σmᵢzᵢ/Σmᵢ | Взвешенное среднее координат по оси z. |
| Две материальные точки | rцт = (m₁r₁ + m₂r₂)/(m₁ + m₂) | Центр лежит на отрезке между точками. |
| Одинаковые массы | m₁ = m₂ = … = mₙ; xцт = (Σxᵢ)/n, аналогично для y и z | Взвешенное среднее превращается в обычное среднее. |
| Положение центра тяжести относительно отрезка | d₁/d₂ = m₂/m₁; m₁d₁ = m₂d₂ | Центр ближе к точке с большей массой. |
В формулах Σ означает сумму по всем точкам системы, а M = Σmᵢ — их суммарную массу. Сначала подставьте массы и координаты, затем сложите произведения и разделите на M. Для точки на прямой используйте только x, для плоской системы отдельно найдите x и y.
На одной прямой находятся точки массами 2 кг и 6 кг с координатами 0 м и 4 м. Требуется найти координату центра тяжести. Координата первой точки равна нулю, поэтому её вклад в сумму произведений координат на массы будет нулевым. Проверим также, что результат окажется ближе к точке массой 6 кг.
Ответ: xцт = 3 м.
Точки имеют координаты (0; 0), (3; 0), (0; 4) и массы 1 кг, 2 кг, 3 кг соответственно. Поскольку система расположена в плоскости, нужно найти две координаты, x и y. Удобнее сначала вычислить общую массу, а затем отдельно сложить взвешенные координаты по каждой оси. Нулевые координаты в произведениях не дают вклада.
Ответ: (1 м; 2 м).
Расстояние между двумя точками равно 10 см. Центр тяжести находится в 2 см от точки массой 4 кг. Нужно найти массу второй точки. Центр лежит между точками, поэтому расстояние от него до второй точки равно 10 − 2 = 8 см. Сравним массы с расстояниями до центра по правилу равенства моментов.
Ответ: 1 кг.
Обычное среднее вместо взвешенного. Если сложить координаты и поделить на число точек, массы не будут учтены. Так делают, потому что привычное среднее легко посчитать, но оно верно только при одинаковых массах. Проверьте себя: если массы различны, в числителе должны стоять произведения mᵢxᵢ, а не только xᵢ.
Деление на массу одной точки. В знаменателе формулы должна быть суммарная масса всей системы, иначе результат не соответствует среднему положению всех точек. Ошибка часто возникает, когда при подстановке забывают сложить массы. Перед расчётом отдельно найдите M = Σmᵢ и проверьте, что учли каждую точку.
Центр ближе к лёгкой точке. Это противоречит равенству моментов: большая масса должна быть уравновешена меньшим плечом. Ошибку можно обнаружить, сопоставив расстояния и массы: произведения m₁d₁ и m₂d₂ должны быть равны. Если расстояние до более тяжёлой точки получилось больше, проверьте пропорцию.
Совпадение центра с самой тяжёлой точкой. Большая масса сильнее влияет на положение центра, но остальные точки тоже вносят вклад, поэтому центр обычно не совпадает ни с одной из них. Такое предположение появляется, если влияние лёгких точек считают несущественным. Проверьте координаты по формуле: при положительных массах центр должен учитывать все точки и для двух точек лежать между ними.
Для вывода формулы нужны сложение векторов, координаты точки и вычисление момента силы. Эти знания позволяют заменить несколько сил одной равнодействующей и определить её положение. Понятие подготавливает изучение центра масс, равновесия тел и центра тяжести протяжённых тел. На практике расчёты помогают анализировать устойчивость, равновесие конструкций и движение системы тел.
Почему центр тяжести находится ближе к более тяжёлой точке?
Тяжёлая точка создаёт больший момент силы тяжести, поэтому равнодействующая должна быть приложена ближе к ней, чтобы моменты уравновесились. Для двух точек расстояния от центра тяжести относятся обратно пропорционально массам.
Можно ли найти центр тяжести как обычное среднее координат?
Только если все точки имеют одинаковые массы. В остальных случаях координаты нужно умножить на соответствующие массы, сложить и разделить на суммарную массу.
Может ли центр тяжести находиться вне тела или вне отрезка между точками?
Для двух точек с положительными массами он всегда лежит между ними, но для реального протяжённого тела может оказаться вне его материала, например у кольца. Центр тяжести системы точек с положительными массами находится внутри выпуклой области, охватывающей эти точки.
Чем центр тяжести отличается от центра масс?
Центр тяжести связан с действием сил тяжести, а центр масс определяется распределением массы. В однородном поле тяжести эти точки совпадают; в неоднородном поле их положения могут различаться.
Как выбрать начало координат, чтобы упростить вычисления?
Удобно выбрать начало в одной из точек системы или в точке, координаты которой легко задать. Тогда часть координат может стать нулевой, и соответствующие слагаемые в формулах исчезнут.
2. Центр тяжести системы нескольких материальных точек
