3. Виды равновесия

Определения и обозначения

Равновесие тела — состояние, при котором тело сохраняет покой относительно выбранной системы отсчёта. Покой не означает отсутствие сил: они могут действовать, но взаимно уравновешиваться. Это определение нужно, чтобы отделять равновесие от простого наблюдения за неподвижным телом.

Устойчивое равновесие — равновесие, при котором после небольшого отклонения тело стремится вернуться в исходное положение. Например, шарик на дне выемки после толчка скатывается обратно. Такое понятие позволяет оценить, будет ли система сама восстанавливать своё положение.

Неустойчивое равновесие — равновесие, при котором после небольшого отклонения тело удаляется от исходного положения. Шарик на вершине выпуклой поверхности после малейшего смещения скатывается дальше. Определение помогает понять, почему некоторые положения сохраняются только при идеальной точности.

Безразличное равновесие — равновесие, при котором после небольшого перемещения тело остаётся в новом положении. Так ведёт себя шарик на горизонтальной плоскости, если сопротивлением движению можно пренебречь. Это понятие показывает, что равновесие не всегда связано с возвращением тела назад.

Как это устроено

Тело находится в равновесии, когда равнодействующая всех сил равна нулю, а суммарный момент сил относительно любой точки также равен нулю. Нулевая равнодействующая исключает поступательное ускорение, поэтому тело не начинает двигаться как целое. Нулевой момент исключает вращательное ускорение, поэтому оно не начинает поворачиваться.

Чтобы определить вид равновесия, тело мысленно отклоняют на малую величину и рассматривают появившиеся силы и моменты. Если их действие направлено к исходному положению, возникает устойчивое равновесие. Если действие продолжает отклонение, равновесие неустойчиво, а если после перемещения не появляется возвращающего или опрокидывающего действия, равновесие безразлично.

Связь с потенциальной энергией объясняется тем, что система стремится перейти в состояние с меньшей энергией. В устойчивом положении небольшое отклонение увеличивает потенциальную энергию, поэтому возникает тенденция вернуться к минимуму. В неустойчивом положении отклонение уменьшает энергию, и тело удаляется от положения, соответствующего максимуму.

Для тела на опоре важна вертикаль, проведённая через центр тяжести. Пока она проходит внутри площади опоры, сила тяжести создаёт вместе с реакцией опоры такие моменты, которые могут сохранять равновесие. При выходе вертикали за край опоры появляется опрокидывающий момент, и тело начинает вращаться.

Три вида равновесия хорошо показывает шар. В сферической впадине при смещении шар поднимается, его потенциальная энергия увеличивается, и он скатывается обратно. На вершине выпуклой поверхности шар при отклонении спускается, энергия уменьшается, поэтому он удаляется от вершины. На горизонтальной поверхности высота центра тяжести не меняется, поэтому шар может остаться в любом новом месте.

Виды равновесия тела

Таблицу удобно использовать в два этапа: сначала представить малое отклонение, затем сравнить направление движения и изменение энергии. Для тел на опоре дополнительно проверяют, остаётся ли вертикаль через центр тяжести внутри площади опоры.

Разбор задач

Задача 1

Определите вид равновесия шарика, лежащего на дне сферической выемки, на вершине выпуклой поверхности и на горизонтальной плоскости. Сопротивлением движению пренебрегите. Нужно сравнить поведение шарика после небольшого отклонения.

1. На дне выемки шарик после смещения поднимается по поверхности, а сила тяжести возвращает его вниз. Равновесие устойчивое.
2. На вершине выпуклой поверхности шарик после смещения начинает скатываться дальше от вершины. Равновесие неустойчивое.
3. На горизонтальной плоскости высота шарика не меняется при перемещении. Он остаётся в новом положении, поэтому равновесие безразличное.

Ответ: в выемке равновесие устойчивое, на вершине — неустойчивое, на горизонтальной плоскости — безразличное.

Задача 2

Небольшой брусок стоит на горизонтальном основании. Сравните устойчивость положений на широкой и узкой грани. Предполагается, что материал и масса бруска одинаковы.

1. В однородном бруске центр тяжести находится примерно в геометрическом центре.
2. На широкой грани вертикаль через центр тяжести проходит далеко от края опоры. Для выхода этой вертикали за основание нужен больший наклон.
3. На узкой грани расстояние до края меньше, поэтому даже небольшое наклонение может привести к опрокидыванию.

Ответ: положение на широкой грани устойчивее. Причина не в большей массе, а в большей площади опоры и большем запасе расстояния до её края.

Задача 3

Определите угол наклона, при котором брусок начнёт опрокидываться, если его высота равна h, а ширина основания — b. Наклон происходит в направлении ширины основания. Искомый угол обозначим α.

1. На пределе опрокидывания вертикаль через центр тяжести проходит через край основания.
2. Центр тяжести находится на высоте h/2, а расстояние от его проекции до края равно b/2.
3. Из прямоугольного треугольника получаем tan α = (b/2)/(h/2) = b/h.
4. Следовательно, критический угол равен α = arctg(b/h). При дальнейшем наклоне вертикаль выйдет за опору.

Ответ: брусок начинает опрокидываться при угле α, для которого tan α = b/h. Чем шире основание и ниже брусок, тем больше этот угол.

Типичные ошибки

Ошибка: считать любое неподвижное тело устойчивым. Её допускают, потому что не проверяют реакцию на отклонение; нужно мысленно сместить тело и посмотреть, куда оно начнёт двигаться.

Ошибка: определять вид равновесия только по направлению силы тяжести. Сила тяжести всегда направлена вниз, но результат зависит также от реакции опоры и возникающего момента; проверяйте итоговое действие всех сил.

Ошибка: связывать устойчивость только с массой или размером тела. Тяжёлый высокий брусок может опрокинуться легче лёгкого низкого; сравнивайте положение центра тяжести и площадь опоры.

Ошибка: забывать об условии опрокидывания. Равновесие нарушается, когда вертикаль через центр тяжести выходит за площадь опоры, поэтому в предельной ситуации она проходит через её край.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны равнодействующая сил, момент силы, центр тяжести, условия равновесия и давление тела на опору. Дальше эти знания применяются в механике, при оценке устойчивости конструкций, в задачах о равновесии жидкостей и об опрокидывании. С энергией тема связана через правило: минимум потенциальной энергии соответствует устойчивости, максимум — неустойчивости.

Что запомнить

• Равновесие означает нулевую равнодействующую сил и нулевой суммарный момент.
• Устойчивое равновесие возвращает тело к исходному положению.
• Неустойчивое равновесие удаляет тело от исходного положения.
• При безразличном равновесии тело сохраняет любое новое положение.
• Устойчивому равновесию соответствует минимум потенциальной энергии.
• Для сохранения равновесия вертикаль через центр тяжести должна проходить внутри площади опоры.
• Опрокидывание начинается, когда вертикаль через центр тяжести проходит через край площади опоры.