"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под редакцией Орлова В.А.
Работа силы при перемещении тела может превращаться в потенциальную энергию взаимодействия. Для силы тяжести результат определяется только изменением высоты, а для упругой силы — изменением деформации пружины. Это позволяет не прослеживать весь путь тела, а сравнивать начальное и конечное состояния. Главное соотношение темы: работа консервативной силы равна убыли потенциальной энергии.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Работа силы тяжести — работа, которую совершает сила притяжения Земли при перемещении тела. Она зависит от массы тела, ускорения свободного падения и изменения высоты: Aтяж = mg(h₁ − h₂). Это определение нужно, чтобы находить работу при подъёме и опускании без расчёта каждого участка пути.
Потенциальная энергия — энергия взаимодействия тел или частей одной системы, зависящая от их взаимного положения. В поле тяжести Eп = mgh, если высота h отсчитывается от выбранного нулевого уровня. Такая энергия позволяет описывать возможность совершения работы за счёт положения тела.
Работа упругой силы связана с изменением деформации пружины. Для пружины потенциальная энергия равна Eп = ½kx², поэтому Aупр = −ΔEп = ½k(x₁² − x₂²). Формула учитывает, что сила упругости изменяется вместе с растяжением или сжатием.
Консервативная сила — сила, работа которой при перемещении между двумя точками не зависит от траектории. К таким силам относят силу тяжести и силу упругости. Для них удобно вводить потенциальную энергию и связывать работу с её изменением.
При подъёме тело перемещается вверх, а сила тяжести направлена вниз, поэтому её работа отрицательна. При опускании направления силы и перемещения совпадают, и работа положительна. Если начальная высота равна h₁, а конечная h₂, то Aтяж = mg(h₁ − h₂): чем сильнее уменьшилась высота, тем больше работа силы тяжести.
На наклонном или криволинейном пути сила тяжести действует на каждом участке, но горизонтальные перемещения работы не добавляют. Вклад даёт только суммарное вертикальное перемещение от h₁ до h₂. Поэтому два разных маршрута между одними и теми же точками дают одинаковую работу силы тяжести.
У пружины сила упругости не постоянна: по закону Гука её модуль F = kx и растёт вместе с деформацией. Поэтому нельзя умножить одну выбранную силу на весь путь, как при постоянной силе. Работа выражается через изменение энергии пружины: Aупр = ½k(x₁² − x₂²), поскольку при растяжении энергия накапливается, а при возвращении пружины уменьшается.
Для силы тяжести и упругости выполняется соотношение A = −ΔEп. Знак «минус» показывает противоположность процессов: когда сила совершает положительную работу, система теряет потенциальную энергию. Если тело поднимают или пружину растягивают, потенциальная энергия возрастает, поэтому работа соответствующей силы отрицательна.
Нулевой уровень потенциальной энергии задают условно: для тела можно выбрать пол, стол или любую другую удобную высоту. При переносе этого уровня все значения энергии изменятся на одну и ту же постоянную величину. Разность энергий двух состояний и работа силы не изменятся, потому что постоянная при вычитании сокращается.
В таблице сначала определите начальное и конечное состояния системы, затем выберите подходящую формулу. Для силы тяжести сравнивайте высоты, а для пружины — квадраты деформаций. Последний столбец помогает понять, какие величины действительно влияют на ответ.
| Ситуация | Работа силы | Изменение потенциальной энергии | От чего зависит результат |
|---|---|---|---|
| Тело перемещается в поле тяжести | Aтяж = mg(h₁ − h₂) | ΔEп = mg(h₂ − h₁) | m, g и начальная и конечная высоты |
| Пружина изменяет деформацию | Aупр = ½k(x₁² − x₂²) | ΔEп = ½k(x₂² − x₁²) | k и начальная и конечная деформации |
| Перемещение между теми же точками по разным траекториям | Работа одинакова | Изменение энергии одинаково | Начальная и конечная точки, а не форма пути |
| Выбор нулевого уровня потенциальной энергии | Работа не меняется | Само значение Eп меняется, ΔEп не меняется | Условие отсчёта энергии |
Тело массой 2 кг подняли на высоту 3 м. Нужно найти работу силы тяжести и изменение потенциальной энергии при g = 10 Н/кг. При подъёме конечная высота больше начальной, поэтому работа тяжести должна получиться отрицательной.
Ответ: Aтяж = −60 Дж, ΔEп = 60 Дж. Знаки противоположны, потому что энергия тела в поле тяжести увеличилась.
Пружину жёсткостью 200 Н/м растянули от x₁ = 0 до x₂ = 0,10 м. Изначально энергия пружины равна нулю, а после растяжения она накопила энергию деформации. Работа силы упругости при этом будет отрицательной.
Ответ: работа силы упругости равна −1 Дж, изменение потенциальной энергии пружины — 1 Дж. Сила сопротивляется растяжению, поэтому её работа отрицательна.
Груз массой 1,5 кг переместили с высоты 4 м на высоту 1 м двумя способами. Начальная и конечная точки одинаковы, значит, форма маршрута не должна влиять на работу силы тяжести. Возьмём g = 10 Н/кг.
Ответ: на наклонной и криволинейной траекториях работа силы тяжести одинакова и равна 45 Дж, а изменение потенциальной энергии в обоих случаях равно −45 Дж.
При подъёме иногда ставят знак «плюс» перед работой силы тяжести, потому что тело движется и сила действует на него. Но сила направлена вниз, а перемещение вверх, поэтому работа отрицательна. Проверьте знак сравнением направлений силы и перемещения.
Работу силы иногда записывают как ΔEп без изменения знака. Это неверно: A = −ΔEп, то есть работа равна убыли, а не приросту потенциальной энергии. Если энергия увеличилась, работа соответствующей силы должна быть отрицательной.
Длина пути не должна появляться в формуле работы силы тяжести при сравнении одинаковых начальной и конечной точек. Ошибку вызывают привычные рассуждения о постоянной силе на всём маршруте. Сначала определите разность высот: именно она задаёт результат.
Нулевой уровень энергии не является единственным и обязательным. При его смене меняется значение Eп, но не разность энергий и не работа силы. Проверьте себя, вычислив ΔEп напрямую между начальным и конечным состояниями.
Для этой темы нужны определение механической работы, правила определения её знака, а также формулы силы тяжести и силы упругости. Без них трудно понять, почему при подъёме работа отрицательна и почему сила пружины меняется.
Результаты используются в законе сохранения механической энергии. Потенциальная энергия может превращаться в кинетическую, например при падении тела или распрямлении пружины.
Связь с законом Гука объясняет расчёты для пружины: формула F = kx показывает зависимость силы от деформации. Поэтому энергию пружины выражают через квадрат деформации, а не через постоянную силу.
Почему работа силы тяжести не зависит от формы траектории?
Сила тяжести совершает работу только при вертикальном перемещении тела. Поэтому при одинаковых начальной и конечной высотах вертикальная составляющая пути одинакова, даже если тело двигалось по наклонной, криволинейной или ломаной траектории.
Почему при подъёме тела работа силы тяжести отрицательна?
Сила тяжести направлена вниз, а при подъёме перемещение направлено вверх. Направления противоположны, поэтому работа силы тяжести отрицательна: энергия тела в поле тяжести увеличивается.
Как связаны работа силы и изменение потенциальной энергии?
Работа консервативной силы равна убыли потенциальной энергии: A = −ΔEп. Если сила совершает положительную работу, потенциальная энергия уменьшается; если отрицательную — увеличивается.
Можно ли выбрать нулевой уровень потенциальной энергии произвольно?
Да, нулевой уровень выбирают так, чтобы расчёты были удобными. При смене уровня меняются значения самой потенциальной энергии, но её изменение между двумя состояниями и работа силы остаются прежними.
Почему при расчёте работы силы упругости нельзя считать её постоянной?
По закону Гука модуль силы упругости зависит от деформации: F = kx. Во время растяжения или сжатия пружины сила меняется от нуля до конечного значения, поэтому работу находят через изменение энергии пружины, а не простым умножением одной постоянной силы на путь.
4. Какую работу надо совершить для изменения положения тела?
