5. Применение условий равновесия тела к однородному стержню

Определения и обозначения

Однородный стержень — модель тела, у которого масса равномерно распределена по длине. Любые равные по длине участки имеют одинаковую массу. Благодаря такой симметрии расчёт стержня значительно упрощается.

Центр тяжести стержня — точка, через которую проходит равнодействующая силы тяжести. У однородного стержня она совпадает с геометрическим центром, то есть с серединой длины. Именно в этой точке при решении задач изображают силу P = mg.

Плечо силы — кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы. Линия действия — это прямая, вдоль которой направлена сила. Плечо нужно, чтобы определить, насколько сильно данная сила стремится повернуть стержень.

Момент силы — мера её вращательного действия относительно выбранной точки или оси. Его находят по формуле M = F·l, где F — сила, а l — её плечо. Чем больше сила или плечо, тем сильнее вращающий эффект.

Как это устроено

Силу тяжести однородного стержня можно заменить одной силой, приложенной в середине, потому что каждый малый участок стержня притягивается Землёй одинаково по направлению. Вклад симметричных участков в момент относительно середины взаимно компенсируется. Поэтому для поступательного и вращательного действия достаточно учитывать равнодействующую P = mg в центре стержня.

Точку для составления моментов выбирают не случайно. Если взять точку приложения неизвестной реакции, плечо этой реакции будет равно нулю, и её момент исчезнет из уравнения. Так в одном уравнении остаётся меньше неизвестных, а решение становится короче.

Плечо зависит не только от расстояния до места приложения силы, но и от направления силы. У горизонтального стержня для вертикальной силы плечо равно горизонтальному расстоянию до её линии действия. Если стержень наклонён, плечо равно перпендикулярному расстоянию, которое также можно вычислять через угол между стержнем и силой.

Одного равенства моментов недостаточно: оно описывает отсутствие углового ускорения, но не показывает, движется ли стержень поступательно. Поэтому дополнительно записывают ΣFₓ = 0 и ΣFᵧ = 0. Эти уравнения означают, что горизонтальные и вертикальные силы взаимно компенсируются.

После составления уравнений неизвестные величины находятся как обычные переменные. Сначала часто используют моменты, чтобы найти натяжение нити или реакцию удобной опоры. Затем по проекциям сил определяют остальные реакции и проверяют, что найденные значения имеют разумные направления и величины.

Применение условий равновесия к однородному стержню

Таблица показывает, какие физические величины нужно включить в решение. Сначала изображают силы, затем выбирают оси и точку для моментов. После этого последовательно используют формулы из последнего столбца.

Разбор задач

Стержень на двух опорах

Однородный стержень массой 4 кг имеет длину 2 м, а опоры находятся у его концов. Сила тяжести равна P = mg = 40 Н и приложена в середине, то есть на расстоянии 1 м от каждой опоры. Из-за симметрии реакции опор одинаковы.

1. Обозначим реакции опор R₁ и R₂ и запишем вертикальное равновесие: R₁ + R₂ − 40 = 0.
2. По симметрии R₁ = R₂, поэтому 2R₁ = 40.
3. Получаем R₁ = R₂ = 20 Н; уравнение моментов относительно любой опоры даёт тот же результат.

Ответ: реакция каждой опоры равна 20 Н. Равенство реакций объясняется одинаковыми плечами силы тяжести и симметричным расположением опор.

Стержень на шарнире и нити

Масса стержня 10 кг, длина 4 м, один конец шарнирно закреплён. В условии сказано, что стержень горизонтален и удерживается горизонтальной нитью, прикреплённой к другому концу. При таком прочтении задача не имеет равновесия: натяжение направлено вдоль стержня и его плечо равно нулю.

1. Вес стержня P = 100 Н приложен в середине и создаёт момент относительно шарнира, равный 100 · 2 = 200 Н·м.
2. Горизонтальная нить приложена на конце, но её линия действия проходит через шарнир, поэтому её момент равен T · 0 = 0.
3. Условие ΣM = 0 нарушается при любом T. Если имелась в виду вертикальная нить, то T · 4 = 100 · 2, откуда T = 50 Н, а реакции шарнира равны 0 по горизонтали и 50 Н вниз по вертикали.

Ответ: для указанной горизонтальной нити равновесие невозможно; для часто подразумеваемой вертикальной нити T = 50 Н. Направление нити обязательно нужно уточнять перед решением.

Стержень с дополнительной опорой и грузом

Горизонтальный стержень длиной 3 м и массой 6 кг закреплён шарниром слева, а вертикальная опора действует на расстоянии 2 м. Груз массой 4 кг подвешен на расстоянии 2,5 м, поэтому его вес равен 40 Н, а вес стержня — 60 Н. Моменты удобно считать относительно шарнира.

1. Записываем моменты: R · 2 − 60 · 1,5 − 40 · 2,5 = 0.
2. Отсюда R = (90 + 100) / 2 = 95 Н.
3. По вертикали Y + 95 − 60 − 40 = 0, поэтому Y = 5 Н вниз; по горизонтали X = 0.

Ответ: сила реакции дополнительной опоры равна 95 Н, горизонтальная составляющая реакции шарнира равна 0, вертикальная направлена вниз и равна 5 Н.

Типичные ошибки

Силу тяжести иногда прикладывают к концу стержня, потому что именно там его условно удерживают. Это неверно для однородного стержня: его центр тяжести находится в середине. Проверьте, указана ли точка приложения веса на расстоянии L/2 от конца.

В качестве плеча часто берут расстояние до точки приложения силы, даже если сила направлена не перпендикулярно стержню. Такое расстояние не всегда даёт правильный момент. Проведите линию действия силы и измерьте от выбранной точки именно перпендикуляр к ней.

Иногда записывают только сумму сил и забывают о вращении. Тело может не двигаться вверх или вниз, но при этом поворачиваться вокруг опоры. Поэтому всегда проверяйте также условие ΣM = 0.

Ошибки знаков возникают, когда моменты по часовой стрелке и против неё считают одинаковыми. Заранее назначьте одно направление положительным, а противоположное — отрицательным. Если реакция получается направленной не так, как предполагалось, это может быть не ошибка: знак показывает её настоящее направление.

Связь с другими темами

До этой темы нужно знать условия равновесия тела, момент силы, правило определения плеча и разложение сил по координатным осям. Эти знания превращаются здесь в последовательный алгоритм решения задач. Без них трудно правильно выбрать уравнения и знаки.

Метод применяется к балкам, лестницам, рычагам и мостовым конструкциям. Во всех случаях ищут силы, действующие на тело, и используют равновесие поступательного и вращательного движения. Поэтому стержень служит простой моделью многих реальных сооружений.

Центр тяжести связан с более общим понятием центра масс. Переход к нему позволяет исследовать равновесие неоднородных стержней и произвольных твёрдых тел. Меняется положение точки приложения веса, но сами условия равновесия сохраняются.

Что запомнить

• У однородного стержня центр тяжести находится в его середине.
• Силу тяжести стержня считают приложенной к его центру тяжести.
• Для равновесия стержня сумма сил должна быть равна нулю.
• Для равновесия стержня сумма моментов относительно любой точки должна быть равна нулю.
• Плечо силы — перпендикулярное расстояние от оси вращения до линии действия силы.
• Точку для вычисления моментов выбирают так, чтобы исключить как можно больше неизвестных сил.
• После уравнения моментов необходимо проверить равновесие сил по координатным осям.