§ 2. Прямолинейное равномерное движение. Сложение скоростей

Определения и обозначения

Прямолинейное равномерное движение — движение по прямой, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения. Такое движение удобно считать простейшей моделью: направление и быстрота движения не меняются. Она нужна, чтобы описывать положение тела формулой без сложных вычислений.

Скорость прямолинейного равномерного движения — векторная величина, равная отношению перемещения ко времени: v⃗ = Δr⃗/t. Она направлена так же, как перемещение, а её единица измерения в СИ — метр в секунду, м/с. При движении вдоль оси обычно используют проекцию скорости vₓ, которая может быть положительной или отрицательной.

Относительность движения — зависимость описания движения, в частности скорости тела, от выбранной системы отсчёта. Система отсчёта включает тело отсчёта, координатную ось и часы. Это понятие нужно, чтобы точно указать, относительно чего измеряются координата и скорость.

Сложение скоростей — правило нахождения скорости тела относительно одной системы отсчёта через его скорость относительно другой и скорость самой этой системы. В векторной форме: v⃗₁₃ = v⃗₁₂ + v⃗₂₃. Правило помогает описывать, например, движение лодки относительно берега, если известны её скорость относительно воды и скорость течения.

Как это устроено

При равномерном движении за один и тот же промежуток времени тело получает одно и то же перемещение, потому что его скорость не меняется. Если время увеличить в два раза, одинаковое перемещение повторится дважды, поэтому общее перемещение увеличится в два раза. Отсюда следует пропорциональность: Δr⃗ = v⃗t. Постоянство направления скорости означает, что тело движется по одной прямой, а постоянство её модуля — что проходит равные участки за равные времена.

Из определения проекции скорости vₓ = Δx/t получаем Δx = vₓt. Если в начальный момент координата тела равна x₀, то через время t его координата будет x = x₀ + vₓt. Начальная координата не описывает движение, а задаёт точку, от которой начинается отсчёт положения. Поэтому координата меняется линейно со временем: к исходному значению каждый раз прибавляется одинаковая величина, пропорциональная t.

Перемещение — направленный отрезок от начального положения к конечному, а путь — длина всей траектории. При движении по прямой без разворота тело не проходит лишних участков, поэтому путь равен модулю перемещения: l = |s⃗|. Если направление изменилось, пройденные участки складываются, тогда путь больше модуля результирующего перемещения. Проекция перемещения sₓ может иметь знак, потому что зависит от выбранного направления оси.

Одно и то же тело может иметь разные скорости для разных наблюдателей: положение тела меняется относительно одной системы отсчёта и не меняется относительно другой. Для систем, движущихся вдоль одной прямой, выбирают ось и складывают проекции скоростей с их знаками. Если направления совпадают, модули складываются, а если противоположны, один знак будет плюсом, другой минусом. На графике x(t) равномерное движение изображается прямой: её наклон задаёт vₓ, а точка пересечения с осью x при t = 0 задаёт x₀.

Величины и зависимости при прямолинейном равномерном движении

Сначала определите, какую величину требуется найти, и выберите подходящую строку таблицы. Затем проверьте, что время выражено в секундах, расстояние — в метрах, а направление учтено знаком проекции. Для задач на относительное движение сначала укажите, относительно каких систем отсчёта заданы скорости.

Разбор задач

Перемещение пешехода

Пешеход движется прямолинейно и равномерно со скоростью 1,5 м/с в течение 20 с. Требуется найти перемещение. Направление движения примем за положительное, поэтому проекция скорости будет положительной.

1. Используем формулу sₓ = vₓt.
2. Подставляем данные: sₓ = 1,5 м/с · 20 с = 30 м.
3. Единицы времени сокращаются, и получается метр — единица перемещения.

Ответ: перемещение пешехода равно 30 м в направлении его движения.

Координата тела

В начальный момент тело имеет координату x₀ = 4 м и движется со скоростью vₓ = −2 м/с. Нужно найти координату через 6 с и момент попадания в начало координат. Минус у скорости означает движение в сторону уменьшения координаты.

1. Записываем закон координаты: x = 4 − 2t.
2. При t = 6 с получаем x = 4 − 12 = −8 м.
3. Для начала координат полагаем x = 0: 0 = 4 − 2t, откуда t = 2 с.

Ответ: через 6 с координата равна −8 м, а начало координат тело проходит через 2 с после начала отсчёта.

Лодка и течение

Лодка движется относительно воды со скоростью 3 м/с, течение направлено вдоль её движения и имеет скорость 1 м/с. Направление движения лодки относительно воды выберем положительным. Нужно найти скорость относительно берега, а затем рассмотреть движение против течения.

1. По течению проекции совпадают по знаку: v = 3 + 1 = 4 м/с.
2. При движении против течения скорость лодки относительно воды равна +3 м/с, а скорость воды равна −1 м/с.
3. Тогда скорость относительно берега: v = 3 − 1 = 2 м/с.

Ответ: по течению лодка движется со скоростью 4 м/с, против течения — 2 м/с.

Типичные ошибки

Складывать модули скоростей без направлений. Так делают, когда воспринимают скорость только как число. При встречных направлениях результат должен учитывать знаки проекций, поэтому сначала нарисуйте ось.

Подставлять модуль скорости вместо проекции. Модуль всегда положителен и не сообщает, куда движется тело. Проверьте знак vₓ: он должен соответствовать направлению движения относительно положительной оси.

Путать путь и перемещение. Путь не бывает отрицательным, а проекция перемещения может иметь любой знак. Если тело меняло направление, сравните длину всей траектории с расстоянием между начальной и конечной точками.

Забывать начальную координату. Формула x = vt верна только при x₀ = 0. Перед вычислениями найдите положение тела в момент t = 0 и запишите полный закон x = x₀ + vₓt.

Связь с другими темами

Для изучения движения нужны координата, перемещение, время, вектор и система отсчёта: они задают язык описания механики. Без выбора оси невозможно правильно определить знак проекции скорости.

Закон равномерного движения используется при чтении графиков координаты и при изучении относительного движения. Позже те же идеи помогают анализировать неравномерное движение, где скорость уже изменяется со временем.

Что запомнить

• При прямолинейном равномерном движении скорость постоянна.
• Закон координаты имеет вид x = x₀ + vₓt.
• Перемещение за время t равно произведению проекции скорости на время: sₓ = vₓt.
• Знак проекции скорости показывает направление движения относительно выбранной оси.
• Скорость зависит от системы отсчёта.
• Скорости складывают как векторы; при движении вдоль одной прямой складывают их проекции с учётом знаков.