2.  Условие равновесия тела, закреплённого на оси

Определения и обозначения

Ось вращения — неподвижная прямая, относительно которой может поворачиваться закреплённое тело. Например, болт задаёт ось вращения ключа. Закрепление на оси запрещает свободное перемещение тела, но оставляет возможность поворота.

Плечо силы — кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы. Линия действия — это прямая, вдоль которой направлена сила. Плечо обозначают l и используют для определения того, насколько эффективно сила вращает тело.

Момент силы относительно оси — мера способности силы вращать тело: M = F·l. Чем больше сила или её плечо, тем сильнее вращательное действие. Единица момента в СИ — ньютон-метр, Н·м.

Равновесие тела, закреплённого на оси — состояние, при котором тело не имеет углового ускорения, а сумма моментов сил относительно оси равна нулю. Моменты, создающие вращение в противоположных направлениях, компенсируют друг друга. Поэтому равновесие записывают так: ΣM = 0.

Как это устроено

Закрепление тела на оси не позволяет ему двигаться поступательно: ось удерживает тело в определённом месте. Но вращение вокруг оси остаётся возможным, поэтому именно угловое ускорение показывает, нарушено ли равновесие. Если суммарный момент не равен нулю, тело начинает поворачиваться, даже когда его центр масс остаётся неподвижным.

Вращательное действие определяется не только величиной силы, но и положением её линии действия. Если линия проходит далеко от оси, сила имеет большое плечо и действует эффективнее. Если та же сила приложена ближе к оси, её момент уменьшается, потому что уменьшается плечо.

Силу удобно мысленно разложить на составляющие: перпендикулярную рычагу и направленную вдоль него. Первая создаёт вращение, а продольная составляющая лишь растягивает или сжимает рычаг. Сила вдоль оси или сила, линия действия которой проходит через ось, имеет нулевое плечо и не создаёт момента.

Для выбора знаков сначала задают положительное направление вращения. Например, момент против часовой стрелки считают положительным, а по часовой стрелке — отрицательным. Тогда условие равновесия можно записать как ΣM = 0, или словами: сумма моментов по часовой стрелке равна сумме моментов против часовой стрелки.

Равенства сил недостаточно, потому что силы могут действовать на разных расстояниях от оси. Даже одинаковые силы способны вращать тело, если их моменты направлены одинаково. Неподвижность тела на оси означает отсутствие углового ускорения, а это обеспечивается именно нулевой суммой моментов.

Момент силы и условие равновесия тела на оси

Сначала в таблице находят величину момента каждой силы, а затем определяют направление её действия. В задачах на равновесие моменты складывают с учётом знаков, а не просто сравнивают их величины. Если получилось ΣM = 0, вращательное равновесие выполнено.

Разбор задач

Задача 1

Ключ длиной 0,25 м поворачивают силой 80 Н, направленной перпендикулярно ключу. Нужно найти момент силы относительно оси болта. Перпендикулярность означает, что плечо силы совпадает с длиной ключа.

1. Записываем данные: F = 80 Н, l = 0,25 м.
2. Используем формулу момента: M = F·l.
3. Подставляем значения: M = 80 · 0,25 = 20 Н·м.

Ответ: момент силы равен 20 Н·м. Если изменить направление силы на противоположное, величина момента останется 20 Н·м, но знак момента изменится.

Задача 2

Однородная балка закреплена на оси. На одном плече длиной 0,4 м действует сила 30 Н вниз, а на другом плече длиной 0,6 м подвешен груз. Предположим, что силы вращают балку в противоположных направлениях. Требуется найти вес груза P для равновесия.

1. Записываем условие равновесия: моменты противоположных направлений должны быть равны.
2. Получаем уравнение 30 · 0,4 = P · 0,6.
3. Находим вес груза: P = 30 · 0,4 / 0,6 = 20 Н.

Ответ: вес груза должен быть равен 20 Н. Хотя плечо груза больше, ему нужна меньшая сила для создания момента, равного моменту силы 30 Н.

Задача 3

Пусть на рычаг действуют сила тяжести груза G с плечом l₁, сила упругости Fₑ с плечом l₂ и внешняя сила F под углом α к рычагу с расстоянием r от оси. Требуется определить внешнюю силу, если известны остальные величины. Выберем положительным вращение против часовой стрелки и обозначим знаками направления действия сил.

1. Для каждой силы определяем плечо или перпендикулярную составляющую. Внешняя сила создаёт момент F·r·sin α, поскольку вращает только её составляющая F·sin α.
2. Составляем уравнение моментов, например F·r·sin α + Fₑ·l₂ − G·l₁ = 0, если первые два момента направлены против часовой стрелки, а момент силы тяжести — по часовой.
3. Выражаем неизвестную силу: F = (G·l₁ − Fₑ·l₂) / (r·sin α). Если выбранные направления отличаются, соответствующие знаки в уравнении нужно изменить.

Ответ: внешняя сила определяется полученным выражением, а её численное значение зависит от заданных величин. Перед вычислением нужно проверить единицы измерения плеч и убедиться, что угол α отсчитывается между силой и рычагом.

Типичные ошибки

Часто вместо плеча берут расстояние от оси до точки приложения силы. Так делают, потому что именно точка приложения кажется главным ориентиром, но момент определяется положением всей линии действия. Проверьте себя: проведите линию силы и опустите на неё перпендикуляр из оси.

Иногда используют формулу F·r независимо от направления силы. Это верно только при перпендикулярном действии; в общем случае учитывают F·r·sin α. Если сила образует угол с рычагом, найдите её перпендикулярную составляющую.

Ещё одна ошибка — складывать все моменты как положительные числа. Сначала определите, куда каждая сила стремится повернуть тело, и поставьте противоположным направлениям разные знаки. Итоговая проверка проста: для равновесия алгебраическая сумма должна быть нулевой.

Нельзя считать, что равенство сил автоматически означает равновесие. Силы одинаковой величины, приложенные на разных расстояниях, могут иметь разные моменты. После проверки сил всегда отдельно проверьте моменты относительно оси.

Связь с другими темами

До этой темы нужно знать силы, их векторы и линии действия, а также условие равновесия поступательного движения. Эти знания позволяют правильно изображать силы и находить их составляющие. Новым шагом становится учёт вращательного действия.

Условие моментов продолжает изучение рычага и простых механизмов. Оно показывает, почему механизм позволяет уравновесить большую силу меньшей силой, приложенной на большем плече. При этом выигрыша в работе не возникает.

Правило используется при расчёте балок, рычагов, кранов, ворот и других конструкций. В каждой такой задаче выбирают ось, находят плечи сил и составляют уравнение моментов. Это связывает школьную механику с инженерными расчётами.

Что запомнить

• Момент силы характеризует её вращательное действие.
• Момент силы равен произведению силы на её плечо: M = F·l.
• Плечо — это кратчайшее расстояние от оси до линии действия силы.
• Сила, линия действия которой проходит через ось, момента относительно этой оси не создаёт.
• Моменты, вращающие тело по часовой стрелке и против неё, учитывают с противоположными знаками.
• Для равновесия тела на неподвижной оси сумма моментов всех сил относительно оси равна нулю.