"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под редакцией Орлова В.А.
Когда тело скользит вниз по наклонной плоскости, сила тяжести разгоняет его, а трение мешает движению. Чтобы найти ускорение, силу тяжести раскладывают на составляющие вдоль поверхности и перпендикулярно ей, а силу трения связывают с реакцией опоры. В результате ускорение зависит от угла наклона, коэффициента трения и свободного падения, но не от массы тела. Эти соотношения помогают понять, начнёт ли тело скользить, и решать задачи о спусках.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Наклонная плоскость — поверхность, образующая угол с горизонтом. На находящееся на ней тело действуют сила тяжести, сила реакции опоры и, если поверхности скользят относительно друг друга, сила трения. Эти силы определяют, будет ли тело двигаться и как изменится его скорость. Для расчётов удобно рассматривать их относительно направления самой плоскости.
Угол наклона α — угол между плоскостью и горизонтальным направлением. Чем он больше, тем большую часть силы тяжести направлено вдоль поверхности вниз. Угол нужен, чтобы найти составляющие силы тяжести и оценить, хватит ли её для скольжения. В формулах для наклонной плоскости используют синус и косинус этого угла.
Сила трения скольжения — сила, действующая вдоль поверхности соприкосновения и направленная против относительного движения тела. Если тело скользит вниз, трение направлено вверх по плоскости. Оно не позволяет скорости увеличиваться так быстро, как при отсутствии трения. По модулю сила трения зависит от силы, с которой поверхности прижаты друг к другу.
Коэффициент трения скольжения μ — безразмерная величина, которая характеризует взаимодействие соприкасающихся поверхностей. Для данной пары материалов он показывает, насколько заметно трение при скольжении. В формуле Fтр = μN коэффициент связывает силу трения с реакцией опоры. Чем больше μ, тем сильнее поверхность препятствует скольжению.
Для разбора движения выбирают одну ось вдоль плоскости, а другую — перпендикулярно ей. Тогда направление возможного движения совпадает с одной из осей, и проекции сил на неё легко сравнить. По перпендикулярной оси можно отдельно проверить, отрывается ли тело от поверхности или прижимается к ней. Такой выбор координат превращает векторный второй закон Ньютона в два более простых уравнения.
Сила тяжести направлена вертикально вниз, но ни одна из выбранных осей обычно не совпадает с этим направлением. Поэтому её раскладывают на две составляющие: mg sin α вдоль плоскости вниз и mg cos α перпендикулярно поверхности. Эти величины следуют из прямоугольного треугольника проекций: угол α связывает вертикаль с нормалью к плоскости. Первая составляющая разгоняет тело вдоль поверхности, а вторая прижимает его к опоре.
Тело не ускоряется перпендикулярно плоскости, пока сохраняет контакт с ней. В этом направлении силы уравновешены: реакция опоры направлена от поверхности, а перпендикулярная составляющая силы тяжести — к ней. Поэтому N = mg cos α. Если бы тело ускорялось поперёк поверхности или отрывалось от неё, это равенство уже нельзя было бы применять без изменений.
Закон трения скольжения даёт Fтр = μN, значит, в рассматриваемой ситуации Fтр = μmg cos α. Вдоль плоскости вниз действует mg sin α, а вверх — трение. Второй закон Ньютона записывается как ma = mg sin α − μmg cos α. После деления на массу получается a = g(sin α − μ cos α): масса сокращается, потому что и сила тяжести, и сила трения пропорциональны ей.
Знак ускорения показывает, как меняется скорость, если положительным считать направление вниз по плоскости. При a > 0 тело ускоряется вниз, при a = 0 движется равномерно, а при a < 0 скорость тела, уже движущегося вниз, уменьшается. Чтобы скольжение вниз начиналось с ускорением, требуется mg sin α > μmg cos α, то есть tg α > μ. Если тело покоится, начало движения зависит от силы трения покоя, поэтому формулу для трения скольжения не следует применять до начала скольжения.
В таблице силы рассматриваются для тела, скользящего вниз, а ускорение отсчитывается в том же направлении. Сначала найдите нормальную реакцию и силу трения, затем сравните силы вдоль плоскости. По знаку равнодействующей и ускорения можно определить характер движения.
| Величина или условие | Формула | Направление или смысл |
|---|---|---|
| Составляющая силы тяжести вдоль плоскости | mg sin α | Вниз по плоскости |
| Составляющая силы тяжести перпендикулярно плоскости | mg cos α | Прижимает тело к поверхности |
| Сила реакции опоры | N = mg cos α | Перпендикулярно плоскости, от поверхности |
| Сила трения скольжения | Fтр = μN = μmg cos α | Противоположно движению, вверх по плоскости |
| Равнодействующая сил вдоль плоскости | Fрез = mg sin α − μmg cos α | Вниз при положительном значении |
| Ускорение тела | a = g(sin α − μ cos α) | Знак показывает направление ускорения |
| Условие движения с ускорением вниз | sin α > μ cos α, или tg α > μ | Составляющая тяжести больше трения |
| Условие равномерного движения | sin α = μ cos α, или tg α = μ | Равнодействующая и ускорение равны нулю |
Тело скользит вниз по плоскости с углом наклона 30°. Коэффициент трения скольжения равен 0,20. Найдём ускорение при g = 10 м/с². Воспользуемся формулой, в которой уже учтены составляющая силы тяжести и сила трения.
Запишем данные: α = 30°, μ = 0,20, g = 10 м/с². Для угла 30° имеем sin 30° = 0,5 и cos 30° ≈ 0,866. Это позволяет сразу подставить значения в формулу ускорения.
Подставим данные: a = 10(0,5 − 0,20 · 0,866). В скобках получаем 0,5 − 0,1732 = 0,3268. Следовательно, a ≈ 3,27 м/с².
Ускорение положительное, если направление вниз по плоскости считать положительным. Значит, тело действительно ускоряется вниз. Ответ: примерно 3,3 м/с².
Тело начинает скользить с покоя по наклонной плоскости длиной 5 м. Угол наклона равен 30°, коэффициент трения — 0,10. Найдём время движения и скорость в конце пути, приняв g = 10 м/с². Сначала определим ускорение, а затем применим формулы равноускоренного движения.
Находим ускорение: a = 10(sin 30° − 0,10 cos 30°) = 10(0,5 − 0,0866) ≈ 4,13 м/с². Оно постоянно, поскольку угол и коэффициент трения не меняются. Начальная скорость равна нулю.
Для пути s = 5 м используем s = v₀t + at²/2. Так как v₀ = 0, получаем 5 = 4,13t²/2, откуда t = √(10/4,13) ≈ 1,56 с. Берём положительное значение времени, потому что отрицательное не описывает продолжительность движения.
Скорость в конце плоскости найдём по формуле v = v₀ + at. Получаем v ≈ 4,13 · 1,56 ≈ 6,44 м/с. Ответ: время около 1,56 с, конечная скорость около 6,4 м/с.
Тело движется вниз по плоскости с углом 37° и начальной скоростью 2 м/с. За 4 с оно проходит 24 м. Найдём коэффициент трения при g = 10 м/с². Сначала кинематика даст ускорение, затем уравнение движения вдоль плоскости — коэффициент.
Подставим путь и время в s = v₀t + at²/2. Получаем 24 = 2 · 4 + a · 4²/2, то есть 24 = 8 + 8a. Поэтому a = 2 м/с².
Из формулы a = g(sin α − μ cos α) выразим μ: μ = (sin α − a/g)/cos α. При α = 37° используем sin 37° ≈ 0,6 и cos 37° ≈ 0,8. Тогда μ = (0,6 − 2/10)/0,8 = 0,4/0,8 = 0,5.
Полученное значение положительно и соответствует трению, направленному против движения. Ответ: коэффициент трения скольжения μ = 0,5. Если в задаче заданы приближённые значения тригонометрических функций, результат также будет приближённым.
Направлять силу трения вниз вместе с движением тела — значит забывать, что трение скольжения противодействует относительному движению поверхностей. Так ошибаются, принимая все силы за «силы движения». Проверьте направление: для тела, которое скользит вниз, трение должно быть направлено вверх по плоскости.
Подставлять N = mg вместо N = mg cos α неверно: сила тяжести целиком не прижимает тело к наклонной поверхности. Такая ошибка возникает, когда забывают разложить силу на составляющие. Проверка проста: при наклоне часть тяжести направлена вдоль плоскости, поэтому нормальная составляющая меньше mg.
Запись a = g(sin α + μ cos α) складывает действие тяжести и трения, хотя при движении вниз эти силы направлены в противоположные стороны. Причина — невнимательный выбор знаков в уравнении Ньютона. Нарисуйте направления сил и назначьте положительное направление вниз: тогда из mg sin α нужно вычитать Fтр.
Считать, что тело обязательно скользит вниз при любом угле, нельзя: сила трения может уравновесить составляющую тяжести вдоль поверхности. Обычно эта ошибка появляется, если учитывать только силу тяжести. Сравните mg sin α и μmg cos α: ускоренное скольжение вниз возможно, когда первая сила больше второй, или tg α > μ.
Для решения задач нужны второй закон Ньютона, понятия силы реакции опоры и трения, а также умение раскладывать вектор на составляющие. Синус и косинус связывают угол наклона с проекциями силы тяжести. Позже движение по наклонной плоскости можно будет исследовать через закон сохранения энергии, сопоставляя изменение потенциальной и кинетической энергий с работой трения. Такие расчёты применяются при анализе торможения и спуска транспорта, а также при проектировании пандусов и горок.
Почему сила реакции опоры равна не mg, а mg cos α?
Сила тяжести направлена вертикально, а реакция опоры — перпендикулярно поверхности. Перпендикулярная составляющая силы тяжести равна mg cos α, и при отсутствии движения поперёк плоскости она уравновешивается реакцией опоры. Поэтому N = mg cos α.
Куда направлена сила трения, если тело движется вниз по плоскости?
Сила трения скольжения направлена вдоль плоскости вверх, то есть против движения тела. Она препятствует скольжению, поэтому уменьшает равнодействующую сил и ускорение вниз.
Почему масса тела не входит в формулу его ускорения?
Сила тяжести и сила трения обе пропорциональны массе: первая равна mg, а вторая — μmg cos α. При подстановке сил во второй закон Ньютона масса сокращается, поэтому ускорение определяется углом, трением и g.
Может ли тело двигаться вниз по плоскости равномерно?
Да, если составляющая силы тяжести вниз равна силе трения вверх. Тогда равнодействующая вдоль плоскости и ускорение равны нулю, а скорость остаётся постоянной.
Как определить минимальный угол, при котором тело начнёт скользить?
На границе начала скольжения составляющая силы тяжести вдоль плоскости сравнивается с предельной силой трения. Из условия mg sin α = μmg cos α следует tg α = μ, поэтому минимальный угол α = arctg μ.
3. Движение тела по наклонной плоскости вниз с учётом трения
