4. Движение вверх по наклонной плоскости

Определения и обозначения

Наклонная плоскость — плоская поверхность, образующая угол α с горизонтом. Она заменяет сложное движение по произвольной поверхности более простым движением вдоль одной прямой. Угол α нужен, чтобы определить составляющие силы тяжести.

Сила тяжести — сила mg, направленная вертикально вниз. На наклонной плоскости её удобно разложить на составляющие вдоль поверхности и перпендикулярно ей. Такое разложение показывает, какая часть силы заставляет тело скользить.

Реакция опоры — сила N, с которой плоскость действует на тело перпендикулярно своей поверхности. Она не даёт телу провалиться сквозь плоскость. Через N находят силу трения и проверяют движение поперёк поверхности.

Сила трения скольжения направлена против движения тела относительно поверхности. При скольжении вверх по плоскости она направлена вниз вдоль плоскости. Её модуль равен Fтр = μN, где μ — коэффициент трения.

Как это устроено

Оси координат выбирают одну вдоль наклонной плоскости, а другую перпендикулярно ей. Тогда движение тела описывается отдельно в каждом направлении, и в уравнения не приходится включать неудобные вертикальные и горизонтальные компоненты. Положительное направление вдоль плоскости обычно выбирают вверх, потому что именно туда тело движется в начале.

Силу тяжести раскладывают на два взаимно перпендикулярных направления. Геометрия прямоугольного треугольника сил даёт составляющую mg sin α вдоль плоскости и mg cos α перпендикулярно ей. При увеличении угла α первая составляющая растёт, поэтому телу труднее подниматься.

При движении вверх составляющая mg sin α направлена против скорости, и сила трения направлена туда же. Поэтому равнодействующая вдоль плоскости обращена вниз, а ускорение имеет отрицательный знак при оси, направленной вверх. Тело не обязано сразу остановиться: начальная скорость ещё некоторое время направлена вверх.

Силу трения находят после определения реакции опоры: Fтр = μN. В перпендикулярном направлении тело обычно не ускоряется и не отрывается от плоскости, поэтому N − mg cos α = 0 и N = mg cos α. Следовательно, вдоль плоскости ma = −mg sin α − μmg cos α.

После сокращения массы получают a = −g(sin α + μ cos α). При постоянных α, μ и g ускорение постоянно, поэтому применимы формулы равноускоренного движения. Из них можно найти время до остановки по t = v₀/|a|, а путь — по s = v₀²/(2|a|).

Силы и уравнения для тела, движущегося вверх по наклонной плоскости

Сначала найдите силы, действующие вдоль плоскости, а затем запишите второй закон Ньютона с выбранным знаком. В строке про трение учитывается именно скольжение вверх, поэтому сила направлена вниз. Таблица позволяет быстро выбрать нужное уравнение для гладкой поверхности или поверхности с трением.

Разбор задач

Задача 1

Брусок скользит вверх по гладкой плоскости с начальной скоростью v₀. Найдём ускорение и путь до остановки при угле наклона α.

1. Вдоль плоскости действует только составляющая силы тяжести mg sin α, направленная вниз.
2. При оси вверх ma = −mg sin α, поэтому a = −g sin α.
3. В момент остановки v = 0. Из v² = v₀² + 2as получаем s = v₀²/(2g sin α).

Ответ: ускорение направлено вниз и равно по модулю g sin α; путь до остановки равен v₀²/(2g sin α). Чем больше угол наклона, тем быстрее брусок теряет скорость.

Задача 2

Тело движется вверх по плоскости с коэффициентом трения μ. Известны v₀, α и μ; найдём ускорение и время до остановки.

1. Из перпендикулярного уравнения N = mg cos α.
2. Сила трения равна μmg cos α и направлена вниз, как и mg sin α.
3. По второму закону Ньютона a = −g(sin α + μ cos α), а затем t = v₀/[g(sin α + μ cos α)].

Ответ: ускорение направлено вниз по плоскости и равно −g(sin α + μ cos α); время подъёма до остановки найдено последней формулой. Трение уменьшает время подъёма по сравнению с гладкой плоскостью.

Задача 3

Брусок запустили вверх, и он остановился после пути s. Известны v₀, α и масса тела; определим коэффициент трения.

1. По кинематике при конечной скорости ноль: 0 = v₀² + 2as, поэтому |a| = v₀²/(2s).
2. Для движения вверх с трением |a| = g(sin α + μ cos α).
3. Приравниваем выражения и получаем μ = [v₀²/(2gs) − sin α]/cos α.

Ответ: коэффициент трения определяется последней формулой. Масса в результате сокращается, поэтому при одинаковых v₀, s и α она не влияет на μ.

Типичные ошибки

Направлять силу трения вверх по плоскости — ошибка. Её допускают, потому что тело в этот момент движется вверх, но трение противодействует именно скольжению. Проверьте направление: при движении вверх сила трения должна быть направлена вниз.

Считать, что mg sin α перпендикулярна поверхности, тоже неверно. Из-за этого меняются и уравнение движения, и значение реакции опоры. Проверьте себя: вдоль плоскости стоит mg sin α, а перпендикулярно ей — mg cos α.

Нельзя всегда приравнивать реакцию опоры к mg. На наклонной плоскости тело давит на неё не всей силой тяжести, а её перпендикулярной составляющей. При обычных условиях без других поперечных сил нужно записать N = mg cos α.

Направление ускорения не совпадает с направлением движения автоматически. Тело может двигаться вверх и одновременно ускоряться вниз, если равнодействующая направлена вниз. Проверка проста: сложите силы вдоль плоскости и определите направление их суммы.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны второй закон Ньютона, разложение векторов на составляющие и формулы равноускоренного движения. Без этих знаний трудно связать силы с изменением скорости и пути.

Такая модель помогает разбирать движение тела вниз по наклонной плоскости и задачи, где на тело действует сила трения. При смене направления движения нужно заново определить направление трения.

Разложение сил по осям применяется при исследовании движения по наклонным поверхностям и равновесия тел. Тот же приём используется, когда на тело действуют силы под разными углами.

Что запомнить

• При движении вверх составляющая силы тяжести вдоль плоскости направлена вниз.
• При скольжении вверх сила трения также направлена вниз по плоскости.
• При отсутствии ускорения перпендикулярно поверхности N = mg cos α.
• При выборе положительного направления вверх ускорение во время подъёма отрицательно.
• Если силы постоянны, движение вдоль плоскости равноускоренное.
• Масса тела сокращается в выражении для ускорения, если учитываются только сила тяжести и трение скольжения.