3. Поворот на наклонной дороге

Определения и обозначения

Вираж — участок дороги, наклонённый к горизонтали и предназначенный для движения по закруглению. Такой наклон помогает направить часть силы, действующей на автомобиль, к центру поворота. Поэтому вираж делают для более устойчивого и безопасного движения.

Угол наклона виража — угол α между плоскостью дороги и горизонтальным направлением. Чем больше этот угол, тем больше горизонтальная составляющая реакции опоры. Угол нужен для расчёта скорости, с которой поворот можно пройти без учёта трения.

Расчётная скорость виража — скорость, при которой поворот проходится без учёта силы трения. При такой скорости наклон дороги сам обеспечивает необходимое ускорение. Если скорость отличается от расчётной, для предотвращения скольжения требуется трение.

Центростремительное ускорение — ускорение автомобиля, направленное к центру закругления и изменяющее направление его скорости. При движении по окружности его модуль равен a_ц = v²/R, где v — скорость, а R — радиус поворота. Оно показывает, какое ускорение должна создавать равнодействующая сил.

Как это устроено

При движении по закруглению автомобиль всё время меняет направление скорости. Даже если показание спидометра постоянно, скорость как вектор изменяется, поэтому возникает центростремительное ускорение к центру поворота. Для движения по окружности его модуль равен a_ц = v²/R: большая скорость требует большего ускорения, а больший радиус — меньшего.

На горизонтальной дороге сила тяжести и реакция опоры уравновешивают друг друга по вертикали. Поэтому горизонтальную силу, направленную к центру, обычно даёт трение между шинами и покрытием. Если сцепления недостаточно, требуемая сила не возникает, и автомобиль начинает скользить наружу поворота.

На наклонном вираже реакция опоры перпендикулярна поверхности дороги, а не направлена вертикально вверх. Её можно разложить на вертикальную составляющую, уравновешивающую часть силы тяжести, и горизонтальную, направленную к центру закругления. Значит, необходимое центростремительное ускорение частично создаётся самим наклоном дороги.

Если трением пренебречь, вертикальная составляющая реакции опоры равна mg, а горизонтальная обеспечивает силу mv²/R. Деление этих равенств даёт tg α = v²/(Rg). Отсюда расчётная скорость определяется формулой v = √(Rg · tg α), поэтому она возрастает с радиусом и углом наклона.

Трение нужно, когда скорость не совпадает с расчётной. При меньшей скорости автомобиль стремится скользить вниз по наклонной дороге, и трение направлено вверх по склону; при большей скорости машина стремится подняться вверх, поэтому трение направлено вниз. Так сила трения расширяет диапазон допустимых скоростей, но её максимальное значение ограничено условием f ≤ μN.

Силы и условия движения автомобиля на наклонном вираже

Сначала определите, отличается ли скорость от расчётной, и только после этого выбирайте направление трения. В третьем столбце указана не отдельная «центростремительная сила», а равнодействующая реальных сил в направлении к центру.

Разбор задач

Задача 1

Вираж имеет R = 50 м и α = 15°. Нужно найти скорость без учёта трения. Используем g = 9,8 м/с² и формулу расчётной скорости.

1. Записываем зависимость: v² = Rg · tg α.
2. Подставляем значения: v² = 50 · 9,8 · tg 15° ≈ 50 · 9,8 · 0,268 ≈ 131,3 м²/с².
3. Извлекаем квадратный корень: v ≈ √131,3 ≈ 11,5 м/с.

Ответ: примерно 11,5 м/с, или около 41 км/ч.

Задача 2

Дано R = 80 м и v = 15 м/с. Требуется найти угол наклона, если трением пренебречь. Здесь неизвестен угол, поэтому сначала вычислим тангенс этого угла.

1. Из формулы tg α = v²/(Rg) получаем tg α = 15²/(80 · 9,8).
2. Считаем: tg α = 225/784 ≈ 0,287.
3. Находим угол обратной тригонометрической функцией: α = arctg 0,287 ≈ 16°.

Ответ: угол наклона должен быть примерно 16°. Величины v и R подставлены в единицах СИ.

Задача 3

Для виража известны R, α и коэффициент трения μ. Нужно найти предельные скорости. Рассмотрим отдельно движение медленнее и быстрее расчётной, потому что направление трения в этих случаях противоположно.

1. При минимальной скорости трение направлено вверх: v_min = √[Rg(sin α − μ cos α)/(cos α + μ sin α)].
2. При максимальной скорости трение направлено вниз: v_max = √[Rg(sin α + μ cos α)/(cos α − μ sin α)].
3. Эти формулы получают из второго закона Ньютона для вертикальной и горизонтальной проекций, положив f = μN. Если подкоренное выражение для минимума отрицательно, скольжение вниз при такой модели не ограничивает движение снизу.

Ответ: минимальная и максимальная скорости определяются двумя формулами выше; автомобиль не скользит при v_min ≤ v ≤ v_max.

Типичные ошибки

Центростремительную силу считают отдельной силой. Так делают, потому что в задачах часто говорят о «необходимой центростремительной силе». На самом деле это равнодействующая реальных сил; проверьте себя, перечислив тяжесть, реакцию опоры и трение.

Реакцию опоры направляют вертикально вверх. Такая схема подходит для горизонтальной дороги, но не для наклонной поверхности. Проведите реакцию перпендикулярно виражу и только потом разложите её на составляющие.

Трение всегда направляют к центру. Ошибка возникает, если смешать направление центростремительного ускорения и направление сопротивления скольжению. Сравните скорость с расчётной: ниже неё трение направлено вверх по склону, выше — вниз.

Вместо радиуса подставляют диаметр или длину дуги. В формуле a_ц = v²/R используется именно расстояние от автомобиля до центра окружности. Проверьте, что выбранный размер перпендикулярен касательной к траектории.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны второй закон Ньютона, разложение сил на составляющие, движение по окружности и закон трения. Тема показывает, как условия равновесия и предельное сцепление связаны с безопасностью движения. Эти идеи применяют при проектировании автомобильных дорог, железнодорожных поворотов и гоночных трасс.

Что запомнить

• При повороте возникает центростремительное ускорение, направленное к центру закругления.
• На виражах реакция опоры дороги имеет горизонтальную составляющую.
• Без трения расчётная скорость определяется формулой tg α = v²/(Rg).
• Чем больше скорость и меньше радиус поворота, тем больше требуемое центростремительное ускорение.
• При скорости ниже расчётной сила трения направлена вверх по наклонной дороге.
• При скорости выше расчётной сила трения направлена вниз по наклонной дороге.
• Сила трения ограничивает диапазон скоростей, при которых автомобиль не скользит.