"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под редакцией Орлова В.А.
Тело, движущееся без трения по внутренней поверхности полусферы или по конусу, может описывать горизонтальную окружность. Его скорость и сила реакции опоры определяются не только массой, но и геометрией поверхности: радиусом сферы, радиусом траектории или углом наклона образующей. Главный приём решения — разложить силы на вертикальную и горизонтальную составляющие.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Движение по окружности в полусфере — равномерное движение тела по горизонтальной окружности внутри сферической поверхности. Радиус сферы обозначим R, а радиус окружности, по которой движется тело, — r. Эти величины могут отличаться, поэтому радиус траектории нужно находить из геометрии.
Движение по окружности в конусе — движение тела по горизонтальной окружности на конической поверхности. Угол α обозначает угол наклона образующей конуса к вертикали. Он определяет, как реакция опоры раскладывается на вертикальную и горизонтальную составляющие.
Сила реакции опоры — сила, с которой поверхность действует на тело. Для гладкой поверхности она направлена перпендикулярно поверхности: внутри полусферы — по направлению к её центру, а на внутренней поверхности конуса — перпендикулярно образующей. Именно её составляющие обеспечивают равновесие по вертикали и движение по окружности.
Угол наклона поверхности — угол между образующей конуса или радиусом сферы и выбранным вертикальным направлением. В полусфере удобно отсчитывать θ от вертикали вниз, а в конусе α — от вертикальной оси. От выбора угла зависят синусы и косинусы в формулах.
Поверхность полусферы или конуса симметрична относительно вертикальной оси. Поэтому для тела, находящегося на одной высоте и движущегося с постоянной скоростью, все горизонтальные положения равноправны: тело описывает окружность вокруг этой оси. Центр окружности лежит на оси симметрии, потому что именно до неё тело всё время сохраняет одно и то же расстояние r.
На тело действуют сила тяжести и реакция опоры. Их вертикальные составляющие взаимно компенсируются, иначе тело имело бы вертикальное ускорение и не оставалось бы на горизонтальной окружности. Горизонтальная составляющая реакции направлена к оси, поэтому она искривляет траекторию и создаёт центростремительное ускорение.
По второму закону Ньютона сумма сил равна произведению массы на ускорение. В полусфере при выбранном угле θ получаем N cosθ − mg = 0 по вертикали и N sinθ = mv²/r по горизонтали. В конусе аналогичные проекции имеют вид N sinα − mg = 0 и N cosα = mv²/r.
Геометрия связывает положение тела с радиусом окружности. В полусфере радиус сферы R является гипотенузой прямоугольного треугольника, поэтому r = R sinθ, а вертикальная координата относительно центра связана с R cosθ. В конусе при высоте h над вершиной r = h tgα, если образующая наклонена к вертикальной оси на угол α.
Главное различие моделей состоит в том, что в полусфере угол θ, а значит и r, задаётся положением тела на сфере. В конусе при фиксированном угле α радиус окружности определяется высотой тела: чем выше тело над вершиной, тем больше r. Поэтому в полусфере можно менять окружность, перемещая тело по сфере, а в конусе — меняя его высоту.
В таблице собраны величины, которые нужно определить до записи закона Ньютона. Сначала найдите геометрический радиус траектории, затем разложите реакцию опоры и выберите вертикальное и горизонтальное направления. После этого формулы позволяют связать скорость, угол и силу реакции.
| Свойство | Полусфера | Конус |
|---|---|---|
| Форма поверхности и радиус траектории | Внутренняя сферическая поверхность; r = R sinθ | Коническая поверхность; r = h tgα |
| Направления силы тяжести и реакции опоры | mg направлена вниз, N — к центру сферы | mg направлена вниз, N перпендикулярна образующей |
| Уравнение вертикального равновесия | N cosθ = mg | N sinα = mg |
| Уравнение движения к центру окружности | N sinθ = mv²/r | N cosα = mv²/r |
| Связь скорости с радиусом траектории | v² = gr tgθ | v² = gr ctgα |
| Величины, задающие положение окружности | R и угол θ либо радиус r | Высота h и угол α либо радиус r |
| Условие существования рассматриваемого движения | 0 < θ < π/2 для движения внутри нижней полусферы | Поверхность должна поддерживать тело; для гладкого конуса α ≠ 0 |
Шарик массой m движется без трения по внутренней поверхности полусферы радиуса R. Пусть известен угол θ между радиусом к шарику и вертикалью вниз. Требуется найти скорость и силу реакции опоры.
Ответ: N = mg/cosθ, v = √(gR sin²θ/cosθ). Если вместо угла дан радиус r, можно использовать cosθ = √(R² − r²)/R и затем подставить это значение в формулу.
Тело движется по гладкому конусу, образующая которого образует с вертикалью угол α. Радиус окружности равен r. Нужно определить скорость и силу реакции опоры.
Ответ: N = mg/sinα, v = √(gr ctgα). Чем меньше угол α, тем сильнее наклонена поверхность к вертикали и тем большая скорость нужна для движения по окружности данного радиуса.
Сравним тела на окружностях одинакового радиуса r в полусфере радиуса R и в конусе с углом α. Для полусферы угол положения не задан, поэтому сначала его нужно получить из отношения sinθ = r/R. Затем сравниваем выражения для квадратов скоростей.
Ответ: v₁ = √(gr²/√(R² − r²)), v₂ = √(gr ctgα). Проверка предельных случаев полезна: при приближении тела в полусфере к краю θ стремится к π/2, и требуемая скорость резко возрастает.
Центростремительную силу считают отдельной силой. Так называют равнодействующую, направленную к центру окружности, а не новую силу в природе. Проверка: выпишите только реальные силы и найдите их горизонтальную сумму.
Радиус поверхности принимают за радиус траектории. Радиус сферы R не равен r, кроме особого положения; длина образующей конуса тоже не является радиусом окружности. Проверка: проведите перпендикуляр от тела к вертикальной оси и обозначьте полученный отрезок как r.
Угол выбирают без уточнения направления отсчёта. Если угол задан от вертикали, нельзя автоматически использовать формулу для угла от горизонтали: синус и косинус поменяются местами. Проверка: нарисуйте прямоугольный треугольник и определите, какая составляющая прилежит к выбранному углу.
Сразу полагают N = mg. Это неверно, потому что вертикальной является только составляющая реакции. Проверка: сначала запишите уравнение вертикальной проекции, например N cosθ = mg или N sinα = mg.
Для решения нужны равномерное движение по окружности, центростремительное ускорение aц = v²/r и второй закон Ньютона. Также понадобятся разложение векторов на проекции, прямоугольные треугольники и связь v = ωr. Эти модели готовят к изучению наклонных поверхностей, конического маятника, орбитального движения и задач в неинерциальных системах отсчёта.
Почему тело движется по горизонтальной, а не по наклонной окружности?
Сила тяжести направлена вертикально вниз, а горизонтальная составляющая реакции опоры направлена к оси поверхности. Вертикальные составляющие сил уравновешиваются, поэтому ускорение остаётся горизонтальным и тело движется по горизонтальной окружности.
Какая сила является центростремительной в полусфере и в конусе?
Центростремительной называют не отдельную силу, а равнодействующую сил в горизонтальном направлении. В обоих случаях ею является горизонтальная составляющая силы реакции опоры.
Как отличить радиус поверхности от радиуса траектории?
Радиус поверхности — это радиус сферы или отрезок, задающий размеры конуса. Радиус траектории r — расстояние от тела до вертикальной оси; его находят по геометрии, например r = R sinθ для сферы.
Почему сила реакции опоры не всегда равна силе тяжести?
Реакция опоры обычно направлена не вертикально, поэтому только её вертикальная составляющая уравновешивает силу тяжести. Например, в полусфере N cosθ = mg, а в конусе N sinα = mg.
Что изменится, если поверхность будет шероховатой?
Появится сила трения, направленная вдоль поверхности. Она может иметь вертикальную и горизонтальную составляющие, поэтому изменятся и условие равновесия по вертикали, и формула для скорости.
4. Движение по окружности в полусфере и в конусе
