"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под редакцией Орлова В.А.
Уравнение Менделеева—Клапейрона связывает давление, объём, температуру и количество вещества идеального газа. В более сложных задачах важно сначала определить, какая часть газа рассматривается и сохраняется ли её количество. Для смеси складывают количества вещества компонентов, а при соединении сосудов учитывают общий объём. Такой подход помогает решать задачи, где одновременно меняются состояние газа, его масса или доступное пространство.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение Менделеева—Клапейрона — связь между давлением p, объёмом V, температурой T и количеством вещества ν идеального газа: pV = νRT. Здесь R — универсальная газовая постоянная, а T выражают только в кельвинах. Уравнение применяют, когда газ можно считать идеальным, то есть его собственным объёмом и взаимодействием молекул можно пренебречь. Оно помогает связать характеристики газа в разных условиях.
Количество вещества — величина ν, показывающая, сколько частиц содержится в образце; для газа его находят по формуле ν = m/M. Здесь m — масса газа, M — его молярная масса, то есть масса одного моля вещества. Такая запись особенно полезна, когда масса известна, а число молей — нет. Если газ поступает или выходит, нужно заново определить ν для рассматриваемой части газа.
Газовая смесь — несколько газов, которые одновременно занимают общий объём. Для расчёта смесь удобно описывать суммой количеств вещества её компонентов: νобщ = ν₁ + ν₂ + … . Массы газов сами по себе не показывают, сколько молей каждого вещества находится в смеси, поэтому компоненты сначала считают отдельно. Затем общую сумму подставляют в уравнение состояния.
Парциальное давление — давление, которое компонент смеси оказывал бы, если бы при той же температуре один занимал весь объём смеси. Его можно рассчитать для каждого газа отдельно. При общей температуре и объёме парциальные давления складываются в полное давление смеси. Это понятие позволяет применять уравнение состояния к отдельным компонентам, не смешивая их массы.
Для фиксированной массы газа количество вещества ν не меняется, поэтому из pV = νRT следует, что отношение pV/T остаётся постоянным. Для начального и конечного состояний это записывают так: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂. Причина проста: величина νR одинакова в обоих состояниях и сокращается при сравнении уравнений. Если объём тоже постоянен, формула упрощается до p₁/T₁ = p₂/T₂.
Когда масса газа меняется, прежнее соотношение для неизменного количества вещества применять напрямую нельзя. Сначала выразите число молей через массу: ν = m/M, а затем подставьте его в уравнение состояния. Так можно отдельно описать газ, который поступил, вышел или разделился на части. Если массы меняются в ходе процесса, для начального и конечного состояний используют соответствующие им значения ν.
В смеси общее количество вещества равно сумме количеств всех компонентов, потому что молекулы разных газов вместе заполняют один и тот же объём. У каждого компонента при этом одинаковы температура и доступный объём. Если записать уравнение состояния для каждого газа и сложить равенства, получится, что полное давление равно сумме парциальных давлений. Складывать массы вместо молей нельзя: у разных газов одна и та же масса содержит разное число частиц.
Если в задаче несколько сосудов или участков, запишите отдельное уравнение состояния для каждого газа или каждой части системы. Затем добавьте условие, которое связывает эти уравнения: например, в сообщающихся сосудах после установления равновесия давления становятся равными. Такие условия не следуют из самого уравнения Менделеева—Клапейрона, а описывают устройство задачи. Их нужно записывать отдельно, чтобы найти неизвестные величины.
В сложной задаче сначала определите систему: какие газы и сосуды входят в неё и может ли газ покинуть её границы. Затем отметьте постоянные величины, переведите температуру в кельвины и выберите уравнение для каждого состояния. После этого объединяйте уравнения условиями задачи и подставляйте данные. Такой порядок помогает не спутать неизменное количество вещества с постоянным объёмом или давлением.
| Ситуация | Что записать | Дополнительное условие |
|---|---|---|
| Фиксированная масса газа в двух состояниях | p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂ | Количество вещества не меняется |
| Газ с изменяющейся массой | pV = (m/M)RT для каждого состояния | Учесть массу газа в каждом состоянии |
| Смесь нескольких газов | pV = (ν₁ + ν₂ + …)RT | Температура и объём компонентов общие |
| Газы в сообщающихся сосудах | Уравнение состояния для каждого участка | В равновесии давления равны |
Сначала выберите строку, которая описывает ситуацию в задаче, и запишите указанное уравнение. Затем проверьте, какое дополнительное условие связывает неизвестные величины. Если подходят несколько строк, используйте их вместе: например, для смеси в сообщающихся сосудах понадобятся и суммирование молей, и условие равновесия.
Условие: объём сосуда 10 л, газ нагревают от 300 К до 450 К, начальное давление 100 кПа. Нужно найти конечное давление. Сосуд закрыт, поэтому газ не выходит, а его количество вещества постоянно. Объём также не меняется, значит, можно сравнить состояния по отношению p/T.
Ответ: 150 кПа.
Условие: в сосуде объёмом 12 л при температуре 300 К находятся 4 г водорода и 16 г кислорода. Найдём давление смеси. Массы компонентов различны, а молярные массы тоже различаются, поэтому сначала необходимо найти количество вещества каждого газа. Используем M(H₂) = 2 г/моль и M(O₂) = 32 г/моль.
Ответ: примерно 519 кПа.
Условие: сосуды объёмами 2 л и 3 л содержат один и тот же газ при 300 К и давлениях 200 кПа и 100 кПа. После соединения температура остаётся постоянной. Газ не покидает систему, поэтому его общее количество вещества сохраняется, а после соединения он занимает объём 5 л. Нужно найти установившееся давление.
Ответ: 140 кПа.
Подставлять температуру в градусах Цельсия нельзя: уравнение состояния использует абсолютную температуру, отсчитываемую от абсолютного нуля. Ошибка появляется, когда привычные показания термометра принимают за T без перевода. Перед расчётом прибавьте к градусам Цельсия 273,15. Проверьте, что в формулах для начального и конечного состояний указаны кельвины.
Нельзя автоматически считать давление смеси суммой давлений, если компоненты не имеют общей температуры и не занимают общий объём. Парциальные давления складываются именно при общей температуре и общем объёме смеси. Иногда эту формулу применяют, не проверив условия задачи. Чтобы проверить себя, запишите для каждого газа уравнение состояния и убедитесь, что в нём используются одни и те же T и V.
Складывать массы газов вместо количеств вещества неправильно, потому что молярные массы компонентов могут отличаться. Такая ошибка возникает, когда массы легко заметить в условии, а перевод в моли пропускают. Рассчитайте ν = m/M для каждого газа отдельно и только затем сложите результаты. Проверка: у каждого слагаемого в сумме должны быть единицы количества вещества, например моли.
Соотношение pV/T = const применимо лишь при неизменном количестве вещества. Если газ поступает или выходит, эта величина меняется вместе с ν, поэтому формула для постоянной массы даст неверный ответ. Ошибку можно заметить, спросив, герметична ли система и сохраняется ли в ней газ. При изменении массы запишите уравнение состояния с ν = m/M отдельно для каждого состояния.
Для работы с уравнением нужны понятия количества вещества и молярной массы, а также само уравнение Менделеева—Клапейрона. Без них нельзя перейти от массы газа к числу молей и связать микроскопический состав с измеряемыми давлением, объёмом и температурой. Поэтому сначала важно уверенно различать массу и количество вещества.
При переходе газа между сосудами используются идеи сохранения массы и вещества. Если система закрыта, общее количество газа не исчезает при изменении распределения по объёмам. Это позволяет составить уравнение для всего газа до и после соединения сосудов, а затем применить условие равновесия.
Эти приёмы пригодятся при изучении термодинамических процессов, свойств газовых смесей и расчётов в химии. В каждой из этих тем нужно понимать, какая система рассматривается, что в ней сохраняется и как связаны состояния вещества. Умение отдельно учитывать компоненты помогает не смешивать их массы и количества вещества.
Когда можно сравнивать два состояния газа через pV/T?
Так можно делать, если количество вещества газа не меняется: из pV = νRT следует, что pV/T постоянно. Температуру при этом нужно выражать в кельвинах.
Как учесть, что часть газа вышла из сосуда?
Нужно определить количество вещества, оставшееся в сосуде, и использовать его в уравнении pV = νRT. Если известна масса оставшегося газа, найдите количество вещества по формуле ν = m/M.
Почему для смеси нужно складывать количества вещества, а не массы?
Разные газы имеют разные молярные массы, поэтому одинаковая масса может соответствовать разному числу молекул. Количество вещества каждого компонента находят отдельно, а затем складывают.
Как найти давление смеси газов?
Сложите количества вещества компонентов и подставьте сумму в уравнение pV = νRT для общего объёма смеси. При одинаковых температуре и объёме это также соответствует сложению парциальных давлений компонентов.
Что меняется в расчёте, если соединить два сосуда?
Если газ не уходит из системы, сохраняется общее количество вещества, а после соединения газ занимает сумму объёмов сосудов. Уравнение состояния до и после соединения позволяет найти установившееся давление.
4. Применение уравнения Менделеева-Клапейрона в более сложных случаях
