"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под редакцией Орлова В.А.
При броске тела под углом к горизонту дальность зависит не только от начальной скорости, но и от угла бросания. Если тело приземляется на той же высоте, два разных угла, сумма которых равна 90°, обеспечивают одинаковое горизонтальное расстояние. Это свойство помогает быстро находить второй угол, определять максимальную дальность и решать задачи о движении тела без сопротивления воздуха.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Дальность полёта — горизонтальное расстояние от точки бросания до точки приземления, обозначаемое R. Она показывает, насколько далеко тело переместилось по горизонтали, и является главным результатом задачи о дальности.
Угол бросания — угол между начальной скоростью тела и горизонталью, обозначаемый α. От него зависит, какая часть скорости направлена вперёд, а какая — вверх, поэтому угол влияет и на высоту подъёма, и на время полёта.
Начальная скорость — скорость тела в момент броска, обозначаемая v₀. Её раскладывают на горизонтальную составляющую v₀ cos α и вертикальную составляющую v₀ sin α, чтобы отдельно описать движение по двум направлениям.
Время полёта — промежуток от броска до приземления, обозначаемый t. Оно связывает скорость движения по горизонтали с дальностью: за время t тело проходит расстояние R = v₀ cos α · t.
Движение тела удобно разделить на горизонтальное и вертикальное, потому что эти движения не мешают друг другу. По горизонтали на тело не действует ускорение, если сопротивлением воздуха пренебречь, поэтому скорость остаётся равной v₀ cos α. По вертикали тело движется с начальной скоростью v₀ sin α и ускорением, направленным вниз, равным g.
При приземлении на ту же высоту, с которой тело бросили, его итоговое вертикальное перемещение равно нулю. Поэтому подъём и последующее падение взаимно компенсируются: вертикальная составляющая скорости сначала поднимает тело, а затем сила тяжести возвращает его на исходный уровень. Из уравнения y = v₀ sin α · t − gt²/2 при y = 0 получаем ненулевое время полёта t = 2v₀ sin α/g.
Дальность равна пути по горизонтали за найденное время: R = v₀ cos α · t. Подставим t и получим R = v₀ cos α · 2v₀ sin α/g = (v₀²/g) · 2 sin α cos α. Так как 2 sin α cos α = sin 2α, окончательная формула имеет вид R = (v₀²/g) sin 2α.
Сравним углы α и 90° − α. Для второго угла удвоенное значение равно 180° − 2α, а синусы дополнительных до 180° углов равны: sin(180° − 2α) = sin 2α. Поэтому при одинаковой начальной скорости дальности совпадают, хотя вертикальные и горизонтальные составляющие скорости меняются местами.
Максимум дальности достигается, когда sin 2α равен единице. Это происходит при 2α = 90°, то есть при α = 45°. Для любого другого угла в диапазоне от 0° до 90° существует дополнительный угол с такой же дальностью, а сумма этой пары равна 90°.
| Характеристика | Угол α | Угол 90° − α |
|---|---|---|
| Угол бросания | α | 90° − α |
| Горизонтальная составляющая начальной скорости | v₀ cos α | v₀ sin α |
| Вертикальная составляющая начальной скорости | v₀ sin α | v₀ cos α |
| Время полёта | 2v₀ sin α/g | 2v₀ cos α/g |
| Дальность полёта | (v₀²/g) sin 2α | (v₀²/g) sin 2α |
Сначала найдите в таблице составляющие скорости, соответствующие выбранному углу. Затем сравните время и дальность: большее вертикальное направление обычно означает более долгий полёт, но не обязательно большую дальность.
Последняя строка показывает главный результат темы: при дополнительных углах дальность одинакова. Время полёта совпадает только при α = 45°, когда два угла превращаются в один и тот же угол.
Тело бросили со скоростью 20 м/с под углом 30° к горизонту и приземлили на исходной высоте. Нужно найти дальность при g = 10 м/с².
Ответ: R ≈ 34,6 м.
Начальная скорость остаётся равной 20 м/с, а первый угол равен 30°. Требуется найти другой угол с такой же дальностью.
Ответ: второй угол равен 60°.
При скорости 25 м/с дальность равна 50 м, тело возвращается на исходную высоту, g = 10 м/с². Нужно найти возможные углы и объяснить наличие двух решений.
Ответ: α ≈ 26,6° или α ≈ 63,4°.
Ошибка — считать, что одинаковую дальность дают углы α и 180° − α. Угол бросания обычно лежит между 0° и 90°, поэтому нужно искать пару α и 90° − α. Проверка проста: сложите найденные углы и убедитесь, что получается 90°.
Некоторые подставляют в формулу синус α вместо синуса 2α. Так происходит из-за невнимательного чтения формулы, но результат меняется существенно. Перед вычислением отдельно удвойте угол и только потом находите его синус.
Нельзя без проверки применять формулу R = (v₀²/g) sin 2α при другой высоте приземления. Она выведена из условия нулевого итогового вертикального перемещения. Сначала сравните высоты начала и конца движения.
Равные дальности не означают равное время полёта. При дополнительных углах вертикальные составляющие различны, поэтому тело под большим углом обычно летит дольше. Для самопроверки сравните формулы t = 2v₀ sin α/g и t = 2v₀ cos α/g.
Для этой темы нужны разложение вектора скорости на составляющие и представление о независимости движений по горизонтали и вертикали. Эти навыки позволяют не путать направление скорости с самой скоростью.
Также используются уравнения равноускоренного движения и связь времени с вертикальным перемещением. Через них выводится формула времени полёта, а затем и формула дальности.
Результат пригодится при изучении траектории тела, брошенного под углом, и задач на оптимальный угол. Он показывает, как одна и та же дальность может быть получена разными способами.
Почему два разных угла бросания могут дать одинаковую дальность?
Дальность определяется формулой R = (v₀²/g) sin 2α. Для углов α и 90° − α значения sin 2α и sin(180° − 2α) одинаковы, поэтому при одной начальной скорости дальности совпадают.
Как найти второй угол, если известен первый?
Нужно вычесть известный угол из 90°: β = 90° − α. Например, для угла 30° вторым будет угол 60°.
Одинаково ли время полёта при дополнительных углах?
Нет, обычно оно различается. При меньшем угле вертикальная составляющая скорости меньше, поэтому тело находится в воздухе меньше времени, чем при дополнительном большем угле.
При каком угле дальность максимальна и почему?
При фиксированной начальной скорости максимальная дальность получается при угле 45°. Тогда sin 2α = sin 90° = 1, то есть множитель при v₀²/g имеет наибольшее возможное значение.
Можно ли применять формулу дальности, если тело приземляется ниже точки броска?
Нет, формула R = (v₀²/g) sin 2α выведена для одинаковой высоты броска и приземления. При другой конечной высоте сначала нужно составить общее уравнение вертикального движения и найти время полёта.
6. Одинаковая дальность полёта при двух разных углах бросания
