"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под редакцией Орлова В.А.
Последовательное соединение пружин — цепочка, в которой пружины прикреплены одна к другой. Оно используется для расчёта упругих систем и позволяет заменить несколько пружин одной эквивалентной. Через все пружины проходит одна и та же сила, но растягиваются они по-разному. Общее удлинение складывается из удлинений отдельных пружин, поэтому эквивалентная жёсткость такой системы меньше жёсткости каждой пружины.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Последовательное соединение пружин — соединение, при котором пружины расположены одна за другой и к концу одной прикреплено начало другой. Такая схема образует единую упругую цепочку. Она нужна, чтобы рассчитать общее растяжение системы или заменить несколько пружин одной.
Жёсткость пружины — коэффициент k в законе Гука F = kx, характеризующий сопротивление пружины деформации. Чем больше k, тем труднее растянуть пружину на заданную величину. В расчётах жёсткость измеряют в Н/м.
Эквивалентная жёсткость — жёсткость одной пружины, которая при той же силе растягивается на столько же, сколько система соединённых пружин. Её обозначают kэкв. Такая замена упрощает решение задач, поскольку вместо нескольких элементов рассматривают один.
Удлинение системы — изменение расстояния между её крайними точками; при последовательном соединении оно равно сумме удлинений отдельных пружин. Для двух пружин это записывают так: x = x₁ + x₂. Именно это расстояние сравнивают с удлинением эквивалентной пружины.
В состоянии равновесия через последовательно соединённые пружины действует одна и та же сила. Промежуточное звено не ускоряется, поэтому силы со стороны двух пружин уравновешивают друг друга. Если бы их модули различались, звено двигалось бы, а система не находилась бы в равновесии. Поэтому для двух пружин F₁ = F₂ = F.
По закону Гука удлинение каждой пружины равно отношению силы к её жёсткости: x₁ = F/k₁ и x₂ = F/k₂. Сила одинакова, но жёсткости могут быть разными, поэтому и удлинения отличаются. Более мягкая пружина имеет меньшее k и при той же силе растягивается сильнее. Это позволяет заранее определить, какая часть системы деформируется заметнее.
Общее удлинение последовательной системы складывается из удлинений всех пружин: x = x₁ + x₂. Причина в геометрии цепочки: расстояние между крайними точками изменяется сначала за счёт растяжения первой пружины, а затем за счёт растяжения второй. Эти смещения направлены вдоль одной линии и складываются. Для нескольких пружин получают x = x₁ + x₂ + … .
Эквивалентная пружина при той же силе должна иметь такое же удлинение: x = F/kэкв. Подставляя в это равенство выражения x₁ = F/k₁ и x₂ = F/k₂, получаем F/kэкв = F/k₁ + F/k₂, а после сокращения силы — 1/kэкв = 1/k₁ + 1/k₂. Для нескольких пружин складываются все обратные жёсткости. Из формулы следует, что система растягивается легче каждой отдельной пружины, поэтому kэкв меньше любого из значений ki.
| Величина | Первая пружина | Вторая пружина | Вся система |
|---|---|---|---|
| Сила упругости | F | F | F |
| Удлинение | x₁ | x₂ | x = x₁ + x₂ |
| Связь удлинения с силой по закону Гука | x₁ = F/k₁ | x₂ = F/k₂ | x = F/kэкв |
| Связь жёсткости с жёсткостями отдельных пружин | k₁ | k₂ | 1/kэкв = 1/k₁ + 1/k₂ |
Сначала по таблице находят общую силу и удлинение каждой пружины, а затем складывают удлинения. Если требуется заменить систему одной пружиной, используют последнюю строку. Все жёсткости должны быть выражены в одинаковых единицах, обычно в Н/м.
Две пружины с жёсткостями 100 Н/м и 200 Н/м соединены последовательно. Требуется найти жёсткость системы. Поскольку соединение последовательное, складываются обратные жёсткости.
Ответ: kэкв ≈ 66,7 Н/м.
Пружины жёсткостями 120 Н/м и 180 Н/м соединены последовательно и растянуты силой 12 Н. Нужно определить удлинение каждой пружины и всей системы. Одинаковая сила действует на обе пружины, но их удлинения различны.
Ответ: x₁ = 10 см, x₂ ≈ 6,7 см, всей системы x ≈ 16,7 см.
Две последовательно соединённые пружины под действием силы 6 Н растянулись вместе на 9 см. Жёсткость одной пружины равна 100 Н/м, нужно найти жёсткость второй. Сначала по общему удлинению определим жёсткость всей системы.
Ответ: жёсткость второй пружины равна 200 Н/м.
Складывают жёсткости пружин. Так поступают по аналогии с параллельным соединением, но для последовательной схемы складываются обратные жёсткости. Проверка проста: результат должен быть меньше каждой исходной жёсткости.
Считают удлинения одинаковыми. Одинаковой при последовательном соединении является сила, а удлинение определяется ещё и жёсткостью. Нужно отдельно вычислить x₁ = F/k₁ и x₂ = F/k₂.
Не складывают удлинения. Иногда находят удлинение каждой пружины, но принимают одно из них за удлинение системы. Проверьте крайние точки цепочки: расстояние между ними изменяется на x₁ + x₂.
Получают жёсткость системы больше жёсткости пружины. Это противоречит смыслу последовательного соединения: несколько пружин растянуть легче, чем одну из них. Если результат оказался слишком большим, проверьте формулу и единицы измерения.
Для решения задач о последовательном соединении нужно знать закон Гука, смысл жёсткости пружины и условия равновесия тел. Закон Гука связывает силу с удлинением, а равновесие объясняет одинаковую силу во всех элементах цепочки. Без этих идей формула эквивалентной жёсткости выглядит необоснованной.
Полученный результат пригодится при изучении параллельного соединения пружин, где правила для силы и жёсткости будут другими. Те же модели используют при рассмотрении колебаний связанных тел и расчёте упругих систем. Умение заменять несколько пружин одной упрощает анализ сложных конструкций.
Почему при последовательном соединении сила в пружинах одинаковая?
Промежуточное звено находится в равновесии, поэтому силы, действующие на него со стороны соседних пружин, равны по модулю и противоположны по направлению. В результате обе пружины передают одну и ту же силу.
Почему удлинение всей системы равно сумме удлинений пружин?
Крайняя точка второй пружины смещается относительно начальной точки на расстояние, складывающееся из двух последовательных смещений. Поэтому общее удлинение равно x₁ + x₂.
Как найти эквивалентную жёсткость двух пружин?
Используют формулу 1/kэкв = 1/k₁ + 1/k₂. После сложения обратных жёсткостей нужно взять обратную величину результата.
Какая пружина растянется сильнее при одинаковой силе?
Сильнее растянется пружина с меньшей жёсткостью. По закону Гука x = F/k: при одинаковой силе удлинение обратно пропорционально жёсткости.
Может ли жёсткость последовательной системы быть больше жёсткости каждой пружины?
Нет. При последовательном соединении эквивалентная жёсткость меньше жёсткости каждой отдельной пружины, потому что складываются положительные обратные величины жёсткостей.
6. Последовательное соединение пружин
