"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под редакцией Орлова В.А.
Параллельное соединение пружин используют, когда несколько пружин прикреплены к одним и тем же неподвижной и подвижной опорам. При смещении общей опоры каждая пружина удлиняется на одну и ту же величину, а силы упругости складываются. Поэтому систему можно заменить одной пружиной с эквивалентной жёсткостью: для двух пружин она равна k₁ + k₂, а для n одинаковых — nk. Чем жёстче отдельная пружина, тем большую часть общей нагрузки она воспринимает.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Параллельное соединение пружин — соединение, при котором концы всех пружин прикреплены к одним и тем же опорам. Обычно одна опора неподвижна, а другая может перемещаться. Такое соединение позволяет увеличить общую жёсткость упругой системы.
Жёсткость пружины — коэффициент k в законе Гука F = kx, характеризующий сопротивление пружины деформации. Чем больше k, тем большую силу нужно приложить для того же удлинения. Измеряют жёсткость в ньютонах на метр, Н/м.
Эквивалентная жёсткость системы — жёсткость одной условной пружины, заменяющей несколько пружин и дающей ту же суммарную силу при том же удлинении. Для параллельного соединения она равна сумме жёсткостей отдельных пружин. Это удобно при решении задач вместо рассмотрения всей системы сразу.
Удлинение системы — общее перемещение подвижной опоры, одинаковое для всех параллельно соединённых пружин. Его обозначают x, а удлинение отдельной пружины — xᵢ. Равенство удлинений является главным признаком параллельного соединения.
Все пружины имеют одинаковое удлинение, потому что их верхние концы закреплены на одной неподвижной опоре, а нижние — на общей подвижной. Если подвижная опора сместилась вниз на расстояние x, каждый её конец переместился на это же расстояние. Поэтому x₁ = x₂ = … = x, а складывать удлинения пружин здесь нельзя.
Внешняя сила распределяется между пружинами, потому что каждая из них действует на общую подвижную опору. Для равновесия опоры важна равнодействующая всех сил упругости, направленных вверх. Она равна сумме сил отдельных пружин: F = F₁ + F₂ + … + Fₙ.
Подставим закон Гука для двух пружин: F₁ = k₁x и F₂ = k₂x. Тогда общая сила F = k₁x + k₂x = (k₁ + k₂)x. Сравнение с формулой F = kэквx показывает, что kэкв = k₁ + k₂.
Для n одинаковых пружин с жёсткостью k каждая сила равна kx, поскольку удлинение у всех пружин одно и то же. Сумма n одинаковых слагаемых имеет вид F = nkx. Значит, эквивалентная жёсткость системы равна kэкв = nk.
В неодинаковых пружинах силы распределяются не поровну, а пропорционально жёсткостям. При общем удлинении x получаем F₁ = k₁x, F₂ = k₂x, поэтому F₁:F₂ = k₁:k₂. Более жёсткая пружина принимает на себя большую долю общей нагрузки.
В таблице сначала определяют общее удлинение, затем записывают силы отдельных пружин и их сумму. Последняя строка показывает, какую нагрузку несёт каждая пружина. Формулы можно применять как для свободного растяжения, так и для системы, находящейся в равновесии.
| Параметр | Одна пружина | Две пружины с жёсткостями k₁ и k₂ | n одинаковых пружин с жёсткостью k |
|---|---|---|---|
| Удлинение | x | x₁ = x₂ = x | x₁ = x₂ = … = xₙ = x |
| Сила упругости системы | F = kx | F = F₁ + F₂ | F = F₁ + … + Fₙ |
| Эквивалентная жёсткость | k | kэкв = k₁ + k₂ | kэкв = nk |
| Сила отдельной пружины | F | Fᵢ = kᵢx | F₁ = F₂ = … = Fₙ = kx |
Две одинаковые пружины имеют жёсткость 200 Н/м каждая и соединены параллельно. Требуется найти жёсткость всей системы. Поскольку пружины работают между одними и теми же опорами, их жёсткости складываются.
Ответ: жёсткость системы равна 400 Н/м. Она в два раза больше жёсткости одной пружины.
Пружины жёсткостями 100 Н/м и 300 Н/м соединены параллельно и растянуты на 4 см. Нужно определить силу каждой пружины и общую силу. Сначала переведём удлинение в СИ: x = 0,04 м.
Ответ: первая пружина действует с силой 4 Н, вторая — с силой 12 Н, общая сила равна 16 Н. Более жёсткая пружина воспринимает большую нагрузку.
Груз массой 2 кг подвешен к общей подвижной опоре пружин жёсткостями 150 Н/м и 250 Н/м. Система находится в равновесии, поэтому сумма сил упругости равна весу груза. Возьмём g = 10 Н/кг.
Ответ: удлинение системы равно 0,05 м, или 5 см; силы упругости равны 7,5 Н и 12,5 Н. Их сумма 20 Н, то есть равна весу груза.
Складывают удлинения пружин, как при последовательном соединении. Ошибка возникает из-за смешения двух схем: общая опора перемещается на одно расстояние, поэтому удлинения равны. Проверьте себя условием x₁ = x₂ = … = x.
Используют сложение обратных жёсткостей. Такая формула относится к последовательному соединению, где одинаковы силы, а не удлинения. Для параллельной схемы сразу запишите kэкв = k₁ + k₂.
Считают силы в неодинаковых пружинах равными. Равными здесь являются удлинения, а сила определяется ещё и жёсткостью: Fᵢ = kᵢx. Если одна пружина жёстче, её сила должна быть больше при том же x.
Складывают жёсткости пружин, закреплённых не на одних и тех же опорах. Формула kэкв = k₁ + k₂ работает только для параллельной схемы. Сначала проверьте, имеют ли все пружины общие неподвижную и подвижную опоры.
Для решения задач нужны закон Гука, понятие жёсткости, сила упругости и условия равновесия. Параллельные пружины встречаются в подвесках, амортизаторах, упругих опорах и других механических системах. Следующая связанная тема — последовательное соединение пружин, где иначе распределяются силы и удлинения.
Почему при параллельном соединении удлинения пружин одинаковы?
Концы всех пружин прикреплены к одной неподвижной и одной общей подвижной опоре. Поэтому при перемещении подвижной опоры каждая пружина изменяет длину на одно и то же расстояние.
Почему жёсткости параллельных пружин складываются?
При одинаковом удлинении каждая пружина создаёт свою силу упругости. Силы действуют на общую опору и складываются, поэтому F = (k₁ + k₂)x, а эквивалентная жёсткость равна k₁ + k₂.
Как найти силу в каждой пружине?
Сначала находят общее удлинение x системы. Затем для каждой пружины применяют закон Гука: Fᵢ = kᵢx.
Чем параллельное соединение отличается от последовательного?
При параллельном соединении удлинения пружин одинаковы, а силы складываются. При последовательном соединении силы одинаковы, а общее удлинение складывается из удлинений отдельных пружин.
Можно ли заменить несколько параллельных пружин одной пружиной?
Да. Их заменяют условной пружиной с эквивалентной жёсткостью, равной сумме жёсткостей всех параллельных пружин. При том же удлинении она создаёт такую же суммарную силу.
7. Параллельное соединение пружин
