"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под редакцией Орлова В.А.
Закон Гука позволяет связать деформацию пружины с упругой силой, а второй закон Ньютона — с ускорением тела. При горизонтальном и вертикальном движении нужно учитывать направление силы упругости, тяжести и ускорения. Для вертикальной пружины растяжение возникает даже в покое: его находят из равенства mg = kx. Если тело ускоряется или смещается от равновесия, деформация и силы определяются уже общим уравнением движения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Упругая сила — сила, возникающая при деформации тела и направленная против деформации. Например, растянутая пружина тянет груз обратно к себе. Это направление нужно учитывать при составлении уравнения движения.
Закон Гука задаёт зависимость модуля упругой силы от деформации: Fупр = k|x|, а в векторной форме Fупр = −kx. Знак «минус» показывает, что сила направлена противоположно смещению или деформации. Формула применима в пределах упругой деформации пружины.
Жёсткость пружины — коэффициент k, показывающий, какая сила нужна для единичной деформации. Чем больше k, тем труднее растянуть или сжать пружину на ту же длину. Единица жёсткости в СИ — ньютон на метр, Н/м.
Деформация пружины — изменение её длины относительно недеформированного состояния; её обозначают x. При растяжении x обычно считают положительным по выбранной оси, а при сжатии направление меняется. Не следует путать эту величину с перемещением тела от положения равновесия.
При составлении уравнения движения важно выбрать положительное направление оси, потому что проекции сил на ось могут иметь разные знаки. Упругая сила всегда направлена к недеформированному состоянию пружины, поэтому её знак зависит от того, растянута пружина или сжата. Одна и та же сила в разных системах отсчёта может иметь разные проекции, но физический результат не изменится.
Закон Гука сообщает, чему равен модуль упругой силы, а второй закон Ньютона связывает эту силу с ускорением. Поэтому сначала находят все силы, затем складывают их проекции и записывают ma = ΣF. Если на тело действует несколько сил, ускорение определяется не одной упругой силой, а их равнодействующей.
Вертикально подвешенный груз растягивает пружину силой тяжести даже тогда, когда остаётся неподвижным. В состоянии равновесия ускорение равно нулю, поэтому сила тяжести и сила упругости равны по модулю: mg = kx. Отсюда статическая деформация пружины равна x = mg/k: более тяжёлый груз растягивает пружину сильнее.
Если выбрать направление вниз за положительное, для вертикальной пружины получаем mg − kx = ma. При ускорении вниз правая часть положительна, и растяжение отличается от равновесного; при ускорении вверх ускорение имеет отрицательную проекцию. Из уравнения можно выразить деформацию: x = m(g − a)/k, если a — проекция ускорения вниз.
Удобно отсчитывать координату не от недеформированной пружины, а от положения равновесия. В этой точке сила тяжести уже компенсирована постоянной частью силы упругости, поэтому остаётся ma = −ky, где y — смещение от равновесия. Минус означает, что ускорение направлено обратно смещению и стремится вернуть тело к равновесию.
В таблице показано, какие силы нужно учитывать в разных ситуациях. Сначала выберите ось и определите проекции сил, затем используйте соответствующее уравнение второго закона Ньютона. В последнем столбце указано, как связаны ускорение и деформация либо смещение.
| Ситуация | Силы, действующие на тело | Уравнение второго закона Ньютона | Связь деформации с ускорением |
|---|---|---|---|
| Тело на горизонтальной пружине без трения | Сила упругости | ma = −kx | a = −kx/m |
| Тело на вертикальной пружине без ускорения | Сила тяжести и сила упругости | 0 = mg − kx | x = mg/k |
| Тело на вертикальной пружине с ускорением | Сила тяжести и сила упругости | ma = mg − kx | x = m(g − a)/k |
| Движение относительно положения равновесия | Изменение силы упругости относительно равновесия | ma = −ky | a = −ky/m |
| Пружина и тело на наклонной плоскости | Сила упругости и составляющая силы тяжести mg sin α | ma = mg sin α − kx | x = m(g sin α − a)/k |
Условие: груз массой 0,5 кг подвешен к пружине жёсткостью 100 Н/м. Найти удлинение после установления равновесия. Примем g = 10 м/с².
Ответ: удлинение пружины равно 0,05 м, или 5 см.
Условие: груз массой 2 кг подвешен к пружине жёсткостью 200 Н/м. Система движется вниз с ускорением 3 м/с². Найти удлинение. Направление вниз считаем положительным, g = 10 м/с².
Ответ: удлинение пружины равно 0,07 м, или 7 см. Оно меньше равновесного значения, потому что ускорение направлено вниз и часть действия силы тяжести расходуется на разгон груза.
Условие: тело на горизонтальной пружине смещено от положения равновесия на 4 см. Масса тела 0,2 кг, жёсткость пружины 50 Н/м. Найти ускорение и его направление.
Ответ: ускорение равно 10 м/с² и направлено к положению равновесия.
Записывают Fупр = kx без учёта направления силы. Так поступают, потому что запоминают только формулу для модуля; проверка проста: упругая сила должна возвращать тело к исходному положению.
При вертикальной пружине забывают силу тяжести или считают, что закон Гука описывает всё движение. Причина — сосредоточенность на пружине; нужно сначала нарисовать схему сил и только потом писать ma = ΣF.
Путают удлинение пружины со смещением тела относительно равновесия. Удлинение отсчитывается от недеформированной длины, а смещение — от точки равновесия; полезно явно указать начало отсчёта.
Подставляют массу в граммах, жёсткость в Н/см или длину в сантиметрах без перевода в СИ. Такая ошибка меняет ответ в десятки и сотни раз, поэтому перед вычислением проверьте: масса в кг, длина в м, жёсткость в Н/м.
Для этой темы нужны закон Гука, второй закон Ньютона, представления о силе тяжести и умение строить схему сил. Дальше эти уравнения становятся основой изучения колебаний груза на пружине и гармонического движения. Тот же метод применяют к динамометрам, амортизаторам, подвесам и системам, движущимся с ускорением.
Почему при равномерном движении сила упругости не исчезает?
Равномерное движение означает, что равнодействующая сил равна нулю, а не что каждая сила отсутствует. Сила упругости может уравновешиваться силой тяжести или другой силой.
Как выбрать знак деформации и направление оси?
Сначала выбирают положительное направление оси, затем проецируют на неё все силы. Знак деформации или её проекции показывает, в какую сторону направлена сила относительно выбранной оси; главное — использовать выбранное правило последовательно.
Чем отличается удлинение пружины от смещения тела относительно равновесия?
Удлинение — изменение длины пружины по сравнению с её недеформированным состоянием. Смещение относительно равновесия — отклонение тела от точки, где силы уравновешены; оно может быть направлено вверх или вниз и не равно полному удлинению.
Что произойдёт с растяжением пружины, если лифт ускоряется вверх или вниз?
При ускорении лифта вверх растяжение увеличивается: kx = m(g + a). При ускорении вниз растяжение уменьшается: kx = m(g − a), если лифт движется вниз с ускорением меньше g.
Можно ли применять закон Гука при любой деформации пружины?
Нет. Закон Гука справедлив в пределах упругих деформаций, когда после снятия нагрузки пружина возвращается к исходной длине и зависимость силы от деформации остаётся линейной.
8. Применение закона Гука для движения тела с ускорением
