6. Примеры сохранения только проекции импульса

Определения и обозначения

Импульс тела — векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость: p⃗ = m v⃗. Направление импульса совпадает с направлением скорости. Это позволяет учитывать не только «сколько» движения имеет тело, но и куда оно движется.

Импульс системы тел — векторная сумма импульсов всех тел, входящих в выбранную систему: p⃗сист = p⃗₁ + p⃗₂ + … . Систему нужно определить заранее, например взять вместе человека и лодку. Тогда внутренние силы их взаимодействия учитываются внутри системы.

Проекция импульса на ось — алгебраическая величина, равная проекции вектора импульса на выбранное направление. Для оси x можно записать pₓ = m vₓ. Проекция бывает положительной, отрицательной или нулевой, поэтому она удобнее модуля, когда тела движутся в разные стороны.

Закон сохранения проекции импульса утверждает: суммарная проекция импульса до взаимодействия равна суммарной проекции после него, если внешняя сила не имеет проекции на эту ось. Запись имеет вид Σpₓ до = Σpₓ после. Закон помогает составить одно уравнение даже в ситуации, когда полный импульс системы не сохраняется.

Как это устроено

Изменение импульса системы вызывают внешние силы: в импульсной форме второй закон Ньютона связывает изменение импульса с действием внешней силы. Если спроектировать это соотношение на ось, получится, что изменение проекции импульса определяется проекцией внешней силы. Поэтому при нулевой внешней проекции величина вдоль этой оси не изменяется.

Ось выбирают по направлению, где внешние силы не имеют составляющих. Например, на гладкой горизонтальной поверхности сила тяжести и реакция опоры направлены вертикально, а сила трения отсутствует. Значит, горизонтальную ось можно использовать для закона сохранения, хотя вертикальные силы сами по себе существуют.

Для нескольких тел складывают именно алгебраические проекции всех импульсов. До взаимодействия получается сумма p₁ₓ + p₂ₓ + …, а после — другая сумма, и эти выражения приравнивают. Такой порядок учитывает движение каждого тела и не требует сначала находить общий вектор графически.

Знаки появляются из-за выбранного положительного направления оси. Если ось направлена вправо, тело, движущееся вправо, имеет vₓ > 0, а тело, движущееся влево, — vₓ < 0. Поэтому встречное движение может уменьшать сумму проекций, а не увеличивать её, как произошло бы при сложении одних модулей.

Сохранение одной проекции не означает сохранения всего вектора импульса. Например, сила тяжести изменяет вертикальную проекцию, но не меняет горизонтальную. Следовательно, горизонтальная часть вектора остаётся прежней, тогда как направление и модуль полного импульса могут измениться.

Когда сохраняется проекция импульса

Сначала найдите внешние силы и разложите их по выбранным осям. Затем отметьте в таблице ту ось, на которой сумма внешних проекций равна нулю.

Если таких осей несколько, закон можно записать для каждой из них отдельно. Если внешняя сила имеет ненулевую проекцию по оси, равенство сохранения для этой оси применять нельзя.

Разбор задач

Столкновение тележек

Условие. Тележки массами m₁ и m₂ движутся по гладкой горизонтальной дорожке и после столкновения слипаются. Их начальные скорости равны v₁ и v₂, причём направления могут быть противоположными. Нужно найти общую скорость u.

1. Направим ось x вдоль движения первой тележки и запишем до столкновения: m₁v₁ + m₂v₂.
2. Если вторая тележка движется навстречу, её проекция v₂ отрицательна.
3. После удара обе тележки имеют скорость u, поэтому Σpₓ после = (m₁ + m₂)u.

Из закона сохранения получаем m₁v₁ + m₂v₂ = (m₁ + m₂)u. Следовательно, u = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂). Знак результата показывает направление общего движения.

Разрыв снаряда

Условие. Снаряд летит под углом к горизонту и распадается на два осколка. Известны масса, скорость и направление первого осколка, а также масса и направление второго; требуется найти горизонтальную составляющую скорости второго. Во время разрыва сила тяжести действует вертикально.

1. Выберем горизонтальную ось x: у силы тяжести проекция на неё равна нулю.
2. До разрыва запишем горизонтальный импульс снаряда как Mv₀ₓ, где v₀ₓ — горизонтальная составляющая его скорости.
3. После разрыва составим m₁v₁ₓ + m₂v₂ₓ = Mv₀ₓ и выразим неизвестную величину: v₂ₓ = (Mv₀ₓ − m₁v₁ₓ)/m₂.

Для каждого осколка нужно найти проекцию скорости с учётом угла и знака направления. Вертикальную составляющую здесь не сохраняют, поскольку на неё действует сила тяжести. Полученная формула даёт именно горизонтальную составляющую скорости второго осколка.

Прыжок человека с лодки

Условие. Человек массой m₁ прыгает с покоящейся лодки массой m₂. Скорость человека относительно лодки после прыжка равна u и направлена вправо. Нужно найти скорости человека v₁ и лодки v₂ относительно берега.

1. Для системы «человек—лодка» выбираем горизонтальную ось; внешняя горизонтальная сила отсутствует, поэтому m₁v₁ + m₂v₂ = 0.
2. Свяжем относительную скорость с береговыми: u = v₁ − v₂, так как лодка движется в противоположную сторону.
3. Решая систему, получаем v₁ = m₂u/(m₁ + m₂), а v₂ = −m₁u/(m₁ + m₂).

Человек получает положительную скорость вправо, лодка — отрицательную скорость влево. Их импульсы равны по модулю и противоположны по направлению. Отрицательный знак в ответе для лодки не означает ошибку, а указывает выбранное направление движения.

Типичные ошибки

Сохраняют полный импульс, хотя внешняя сила действует по одной из осей. Так бывает, когда забывают разделить векторное условие на проекции. Проверьте каждую ось отдельно: сохранение записывают только там, где сумма внешних проекций равна нулю.

Складывают модули импульсов вместо алгебраических проекций. Ошибка возникает при встречном движении, когда оба значения ошибочно считают положительными. Нарисуйте положительное направление оси и поставьте знак «минус» у тела, движущегося противоположно.

Не выбирают ось заранее или направляют её так, что внешняя сила имеет ненулевую составляющую. Из-за этого закон сохранения применяют без основания. Перед уравнением перечислите внешние силы и проверьте их проекции на выбранную ось.

Подменяют относительную скорость береговой. Такая ошибка появляется в задачах о человеке и лодке, когда скорость дана относительно другого тела. Запишите дополнительную связь, например u = vч − vл, и только после этого используйте закон сохранения импульса.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны определение импульса, сложение векторов и проецирование на координатные оси. Без этих навыков трудно правильно определить знак и составить сумму проекций. Повторите также разложение скорости на горизонтальную и вертикальную составляющие.

Закон сохранения проекции следует из второго закона Ньютона в импульсной форме. Он опирается на различие между внешними и внутренними силами: внутренние силы могут перераспределять импульс внутри системы, но не меняют её общий импульс без внешнего воздействия.

Метод используется в задачах о столкновениях, отдаче, реактивном движении и распаде тел. В каждой такой задаче сначала определяют систему и направление оси. Затем выбирают те проекции, для которых внешнее воздействие отсутствует.

Что запомнить

• Сохраняется та проекция импульса, по направлению которой суммарная внешняя сила равна нулю.
• Проекцию импульса записывают с учётом знака выбранного направления оси.
• Для системы тел складывают проекции импульсов всех тел.
• Сохранение одной проекции не означает сохранения полного импульса.
• Внешние силы, перпендикулярные выбранной оси, не изменяют проекцию импульса на эту ось.
• Перед записью закона сохранения нужно выбрать систему тел и координатную ось.
• В задачах с относительными скоростями необходимо связать относительные скорости со скоростями в выбранной системе отсчёта.