5. Применение закона сохранения импульса к движению системы тел

Определения и обозначения

Импульс системы тел — векторная сумма импульсов всех тел: pсист = p₁ + p₂ + … . Импульс отдельного тела p = mv, где m — его масса, а v — скорость. Направление импульса совпадает с направлением скорости, поэтому при сложении нужно учитывать не только модули, но и направления векторов.

Замкнутая система тел — система, на которую внешние силы не действуют или их равнодействующая равна нулю. Внешние силы возникают из-за тел, не входящих в выбранную систему. Такое определение нужно, чтобы понять, когда полный импульс системы сохраняется.

Центр масс — точка, положение которой определяется распределением масс тел системы. Для системы из нескольких тел радиус-вектор центра масс: rц.м. = (m₁r₁ + m₂r₂ + …) / (m₁ + m₂ + …), где r₁, r₂ — радиус-векторы тел, а m₁, m₂ — их массы. Эта точка позволяет описывать общее движение сложной системы.

Реактивное движение — движение тела, возникающее при отделении от него части вещества. Тело и отделившееся вещество получают противоположно направленные импульсы. Так объясняется движение ракеты, струи воды из шланга и отдача при выстреле.

Как это устроено

Импульс системы складывается из импульсов отдельных тел, потому что каждое тело вносит свой вклад в общее движение. Для расчёта нужны масса и скорость каждого тела, а также направление скорости. Если тела движутся вдоль одной прямой, направления удобно учитывать знаками, а при движении в разных направлениях — складывать проекции по выбранным осям.

В замкнутой системе тела действуют друг на друга внутренними силами. По третьему закону Ньютона силы взаимодействия равны по модулю и противоположны по направлению, поэтому изменения импульсов двух тел взаимно компенсируются: Δp₁ + Δp₂ = 0. Значит, внутренние взаимодействия способны перераспределять импульс между телами, но не меняют его сумму.

Если на систему действует внешняя сила, её импульс изменяется: Δpсист = Fвнешн.Δt, где Fвнешн. — равнодействующая внешних сил, а Δt — время действия. Полный импульс можно считать сохраняющимся, когда внешних сил нет, их равнодействующая равна нулю или внешний импульс очень мал по сравнению с импульсами внутри системы. Поэтому перед решением нужно определить границы системы и проверить внешние воздействия.

Полный импульс связан со скоростью центра масс формулой pсист = Mvц.м., где M — масса системы. Если внешняя равнодействующая равна нулю, pсист постоянно, а значит, постоянна и скорость центра масс. Внутренние взрывы, столкновения или перемещения частей системы могут менять движение отдельных тел, но не движение центра масс всей системы.

При реактивном движении часть вещества выбрасывается с некоторым импульсом назад. Оставшаяся часть тела получает компенсирующий импульс вперёд, поэтому ракета ускоряется даже в безвоздушном пространстве. Для системы «ракета — газ» закон сохранения импульса записывают до и после выброса, причём скорость газа часто задана относительно ракеты, а не наблюдателя.

Применение закона сохранения импульса к системе тел

Сначала определите, какая ситуация описана в задаче, и выберите систему тел. Затем проверьте внешние силы и используйте подходящую формулу, не забывая о направлениях импульсов.

Таблица особенно полезна как краткий алгоритм выбора закона: столкновение связывают с сохранением импульса, внешнее воздействие — с изменением импульса, а перемещение частей системы — с центром масс.

Разбор задач

Столкновение двух тел

Два тела массами m₁ и m₂ движутся навстречу со скоростями v₁ и v₂ и после столкновения сцепляются. Требуется найти скорость общей системы. Сопротивлением внешних сил пренебрегаем, поэтому систему можно считать замкнутой.

1. Выберем положительное направление по движению первого тела. Тогда его скорость равна +v₁, а скорость второго тела, движущегося навстречу, равна −v₂.
2. Запишем импульс до столкновения: pдо = m₁v₁ − m₂v₂.
3. После сцепления тела имеют общую скорость u и массу m₁ + m₂, поэтому pпосле = (m₁ + m₂)u.
4. Приравняем импульсы: m₁v₁ − m₂v₂ = (m₁ + m₂)u. Отсюда u = (m₁v₁ − m₂v₂) / (m₁ + m₂).

Ответ: скорость общей системы равна u; знак результата показывает направление движения. Если числитель равен нулю, тела после столкновения останутся неподвижными.

Человек переходит по лодке

Человек массой m переходит вдоль неподвижной лодки массой M и длиной L от одного края к другому. Внешних горизонтальных сил нет, поэтому положение горизонтального центра масс системы «человек — лодка» не меняется. Нужно найти смещение лодки относительно воды.

1. Пусть лодка сместилась на расстояние x в сторону, противоположную движению человека.
2. Относительное перемещение человека по лодке равно L, поэтому его перемещение относительно воды равно L − x, если направление движения человека выбрать положительным.
3. Сохранение координаты центра масс даёт m(L − x) + M(−x) = 0.
4. Раскроем скобки: mL − mx − Mx = 0. Тогда x = mL / (m + M).

Ответ: лодка сместится на x = mL / (m + M) в сторону, противоположную переходу человека. Чем больше масса лодки, тем меньше её смещение.

Выброс газа из ракеты

Ракета массой M выбрасывает за короткое время порцию газа массой m. Газ получает скорость u относительно ракеты, направленную назад. Найдём изменение скорости ракеты, считая систему «ракета — газ» замкнутой за время выброса.

1. Пусть до выброса ракета и газ движутся со скоростью v. Их общий импульс равен (M + m)v.
2. После выброса скорость ракеты станет v + Δv. Если газ движется относительно ракеты назад со скоростью u, его скорость относительно наблюдателя равна v + Δv − u.
3. Запишем сохранение импульса: (M + m)v = M(v + Δv) + m(v + Δv − u).
4. После сокращения получаем 0 = (M + m)Δv − mu, поэтому Δv = mu / (M + m). При малой массе выброшенного газа можно приближённо использовать Δv ≈ mu / M.

Ответ: скорость ракеты увеличится на Δv и будет направлена противоположно движению газа. Чем больше масса и относительная скорость выброшенного газа, тем сильнее изменение скорости ракеты.

Типичные ошибки

Складывать модули импульсов без направлений. Так делают, когда воспринимают импульс как обычное число. Выберите ось и поставьте знаки перед скоростями; результат должен зависеть от направления движения.

Применять сохранение импульса без проверки внешних сил. Ошибка возникает из-за механического использования знакомой формулы. Сначала выделите систему и проверьте, что внешняя равнодействующая или её импульс равны нулю либо ими можно пренебречь.

Считать постоянным импульс каждого тела. При взаимодействии тела обмениваются импульсом, поэтому их отдельные импульсы меняются. Проверяйте сохранение именно суммы импульсов всей выбранной системы.

Путать скорость газа относительно ракеты со скоростью относительно наблюдателя. Это приводит к неверному знаку и величине изменения скорости ракеты. Переведите относительную скорость в систему отсчёта наблюдателя: сложите скорость ракеты и относительную скорость газа с учётом направления.

Связь с другими темами

Для работы с импульсом нужны определение импульса тела, второй закон Ньютона и правила сложения векторов. Второй закон объясняет изменение импульса под действием внешней силы, а третий закон — компенсацию внутренних сил в замкнутой системе.

Закон сохранения импульса используют при изучении столкновений, отдачи, реактивного движения и движения центра масс. Одна и та же идея связывает эти явления: изменение импульса одной части системы компенсируется изменением импульса другой или вызывается внешним воздействием.

Что запомнить

• Импульс системы равен векторной сумме импульсов её тел.
• Полный импульс замкнутой системы сохраняется.
• Внутренние силы могут менять импульсы отдельных тел, но не полный импульс системы.
• Изменение импульса системы связано с действием внешних сил.
• Движение центра масс определяется внешними силами.
• Реактивное движение возникает при отделении части вещества от тела.