6. Работа равнодействующей нескольких сил

Определения и обозначения

Работа силы — скалярная величина, равная произведению модуля силы F, перемещения s и косинуса угла α между ними: A = Fs cos α. Работа измеряется в джоулях (Дж). Формула показывает, что результат зависит только от проекции силы на направление перемещения.

Равнодействующая сил — сила, действие которой на тело заменяет совместное действие нескольких сил. Её обозначают Fрез и находят как векторную сумму: Fрез = F₁ + F₂ + … + Fn. Такое представление позволяет заменить несколько сил одной и удобнее изучать движение тела.

Работа равнодействующей — работа силы, равной векторной сумме всех сил, действующих на тело, на данном перемещении. Её обозначают Aрез. Эта величина связывает общий результат действия сил с отдельными работами: Aрез = A₁ + A₂ + … + An.

Как это устроено

Если тело переместилось на один и тот же вектор s, работу каждой силы можно вычислить отдельно по формуле Aᵢ = Fᵢs cos αᵢ. Причина в том, что работу совершает не вся сила, а только её проекция на направление перемещения. Поэтому для каждой силы нужно определить свой угол или сразу найти её продольную проекцию.

Работа равнодействующей равна сумме работ потому, что проекция векторной суммы сил на выбранное направление равна сумме их проекций. Умножение этой суммы на одно и то же перемещение даёт сумму отдельных произведений. Значит, Aрез = A₁ + A₂ + … + An не является отдельным правилом без основания, а следует из свойств векторов.

Если силы постоянны, их векторная сумма тоже постоянна. Поэтому равнодействующую можно рассматривать как одну постоянную силу и вычислять её работу по формуле Aрез = Fрезs cos αрез. Здесь αрез — угол между равнодействующей и перемещением, а не угол любой из исходных сил.

При сложении работ необходимо учитывать знаки. Сила, направленная в сторону перемещения, имеет положительную работу; сила, направленная против перемещения, — отрицательную; перпендикулярная сила работы не совершает. Знак показывает, увеличивает ли сила энергию движения, уменьшает её или не меняет её посредством работы.

Разные знаки не нарушают равенство работы равнодействующей и суммы работ. Например, положительная работа тяги может частично компенсироваться отрицательной работой сопротивления. Если работы взаимно уничтожились или все оказались нулевыми, работа равнодействующей также равна нулю.

Работа сил при одном и том же перемещении

Сначала определите направление перемещения, затем для каждой силы установите угол с этим направлением. После этого вычислите работы и сложите их с учётом знаков.

Последняя строка позволяет проверить решение: полученная сумма должна совпасть с работой равнодействующей. Если равнодействующая найдена через проекции, проверка обычно становится особенно простой.

Разбор задач

Задача 1

На тело, переместившееся на 4 м по горизонтали, действует сила 5 Н в направлении перемещения. Других сил в направлении движения нет.

1. Угол между силой и перемещением равен 0°, поэтому cos 0° = 1.
2. Работа силы: A = Fs cos α = 5 · 4 · 1 = 20 Дж.
3. Эта сила является равнодействующей в направлении движения, поэтому Aрез = 20 Дж.

Ответ: работа силы и равнодействующей равна 20 Дж.

Задача 2

Тело переместилось на 3 м вправо. Действуют силы 10 Н вправо и 4 Н влево.

1. Направление вправо принимаем за положительное. Для силы 10 Н угол с перемещением равен 0°, поэтому A₁ = 10 · 3 = 30 Дж.
2. Сила 4 Н направлена противоположно перемещению: A₂ = 4 · 3 · cos 180° = −12 Дж.
3. Сумма работ равна 30 − 12 = 18 Дж. Равнодействующая направлена вправо и имеет модуль 10 − 4 = 6 Н, поэтому Aрез = 6 · 3 = 18 Дж.

Ответ: A₁ = 30 Дж, A₂ = −12 Дж, Aрез = 18 Дж; равенство подтверждено.

Задача 3

Тело переместилось на 5 м по горизонтали. Сила 12 Н образует угол 60° с перемещением, а сила 3 Н направлена против него.

1. Проекция первой силы на перемещение равна 12 cos 60° = 6 Н, поэтому её работа A₁ = 6 · 5 = 30 Дж.
2. Вторая сила направлена против перемещения: A₂ = −3 · 5 = −15 Дж.
3. Суммарная работа Aрез = 30 − 15 = 15 Дж. Суммарная проекция сил равна 6 − 3 = 3 Н, поэтому работа равнодействующей равна 3 · 5 = 15 Дж.

Ответ: суммарная работа равна 15 Дж, модуль продольной равнодействующей — 3 Н.

Типичные ошибки

Модули сил складывают вместо векторного сложения, когда не учитывают направления. Так можно получить неверную равнодействующую даже у двух сил, направленных навстречу. Проверьте рисунок или проекции: противоположные составляющие должны вычитаться.

Работу силы, направленной против перемещения, иногда считают положительной. Ошибка возникает из-за игнорирования угла 180° и отрицательного косинуса. Проверьте направление: при движении навстречу сила должна давать отрицательную работу.

Некоторые складывают модули работ, а не их алгебраические значения. Из-за этого отрицательная работа сопротивления ошибочно увеличивает результат. Записывайте знак каждой работы сразу после определения угла.

Нельзя считать, что любая сила совершает работу только потому, что действует на тело. При перпендикулярном направлении угол равен 90°, и произведение содержит нулевой косинус. Проверяйте, есть ли у силы проекция вдоль перемещения.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать формулу работы постоянной силы A = Fs cos α и понимать, как угол определяет её знак. Без этого невозможно правильно отличить положительную, отрицательную и нулевую работу.

Также требуется уметь складывать силы как векторы и находить их проекции на выбранное направление. Проекции особенно удобны, когда силы расположены под разными углами.

Результат используется в теореме о кинетической энергии: суммарная работа всех сил равна изменению кинетической энергии тела. Поэтому равенство работы равнодействующей сумме работ помогает решать задачи о движении под действием нескольких сил.

Что запомнить

• Равнодействующая нескольких сил равна их векторной сумме.
• Работа равнодействующей равна сумме работ всех сил.
• Работы сил складывают с учётом знаков.
• Работа зависит от проекции силы на направление перемещения.
• Перпендикулярная перемещению сила работы не совершает.
• Единица работы в СИ — джоуль.