7. Работа по подъёму цепи

Определения и обозначения

Однородная цепь — цепь с одинаковой массой каждого равного по длине участка. Поэтому её масса распределена равномерно, а положение центра масс находится в середине цепи. Это позволяет описывать всю цепь одной линейной плотностью.

Линейная плотность цепи — масса, приходящаяся на единицу длины: λ = M/L. Здесь M — масса всей цепи, а L — её полная длина. В расчётах λ помогает заменить массу отдельного участка произведением λ на его длину.

Элемент цепи — небольшой участок длиной Δx и массой Δm = λΔx. Обозначение Δ показывает, что участок достаточно мал, чтобы считать его свойства почти одинаковыми. Суммируя действие на такие элементы, можно найти работу для всей цепи.

Переменная сила — сила, изменяющаяся во время движения. При подъёме цепи она зависит от длины уже поднятой части, поэтому обозначается F(x). Для такой силы нельзя сразу использовать формулу работы постоянной силы.

Как это устроено

Рассмотрим однородную цепь длиной L и массой M, лежащую на полу. Её медленно поднимают за один конец до вертикального положения, поэтому ускорением пренебрегают: сила подъёма в каждый момент уравновешивает вес поднятой части. Медленный подъём нужен для того, чтобы работа внешней силы переходила в потенциальную энергию, а не в заметную кинетическую энергию.

Сила меняется потому, что над полом находится не вся цепь сразу. Когда поднята часть длиной x, на руку действует вес только этой части, а лежащая на полу часть ещё не требует удерживания. При x = 0 сила равна нулю, а при x = L поднята вся цепь и F = Mg.

Масса поднятого участка равна λx. Подставляя λ = M/L в выражение для веса, получаем F(x) = λgx = Mgx/L. Значит, сила возрастает прямо пропорционально x: при увеличении поднятой длины в два раза сила также увеличивается в два раза.

Нельзя умножить конечную силу Mg на весь путь L, поскольку в начале подъёма сила меньше. Разобьём путь на малые перемещения Δx и для каждого запишем элементарную работу ΔA = F(x)Δx. Суммирование этих работ при уменьшении Δx до нуля даёт A = ∫₀ᴸ Mgx/L dx = MgL/2.

Тот же результат виден из изменения потенциальной энергии. Центр масс однородной цепи расположен посередине, поэтому при постановке цепи вертикально он поднимается на L/2. Следовательно, ΔEп = MgL/2, и при медленном подъёме работа внешней силы имеет такое же значение.

Величины и формулы при подъёме цепи

В условии сначала найдите, какая величина дана и в каких единицах она измеряется. Для полной задачи обычно дополнительно используются M, g и зависимость F(x) = Mgx/L, даже если в таблице приведена только длина.

Если требуется работа подъёма всей цепи, применяйте A = MgL/2. При подъёме только части длиной h вместо L в пределах суммирования используется h, а итоговая формула становится A = Mgh²/(2L).

Разбор задач

Задача 1

Условие: однородную цепь длиной L и массой M поднимают с пола за один конец до вертикального положения. Нужно найти работу подъёма. Считаем подъём медленным, без изменения кинетической энергии.

1. После подъёма участка длиной x сила равна F(x) = Mgx/L.
2. Для малого перемещения Δx работа равна ΔA = F(x)Δx. Складываем такие работы от x = 0 до x = L.
3. Получаем A = ∫₀ᴸ Mgx/L dx = MgL/2. Эквивалентно можно заметить, что центр масс поднялся на L/2.

Ответ: A = MgL/2. Величина положительна, потому что внешняя сила увеличивает потенциальную энергию цепи.

Задача 2

Условие: цепь длиной 4 м и массой 12 кг поднимают с пола до вертикального положения. Найдём работу, принимая g = 10 Н/кг. Все звенья в конце находятся в покое.

1. Используем формулу для всей цепи: A = MgL/2.
2. Подставляем значения: A = 12 · 10 · 4 / 2.
3. Выполняем вычисление: A = 240 Дж. Единица джоуль получается из произведения силы на расстояние.

Ответ: 240 Дж. Проверка через энергию даёт тот же результат: центр масс поднялся на 2 м, поэтому ΔEп = 12 · 10 · 2 = 240 Дж.

Задача 3

Условие: цепь длиной L и массой M поднимают за один конец на высоту h, где h < L. Остальная часть остаётся на полу. Требуется найти работу подъёма поднятого участка.

1. Масса поднятой части длиной h равна m = λh = Mh/L.
2. Сила на высоте x равна F(x) = Mgx/L, где x изменяется от 0 до h.
3. Интегрируем: A = ∫₀ʰ Mgx/L dx = Mgh²/(2L). Квадрат h появляется потому, что и сила, и путь изменяются в процессе подъёма.

Ответ: A = Mgh²/(2L). При h = L эта формула превращается в A = MgL/2 для всей цепи.

Типичные ошибки

Часто используют конечную силу Mg на всём пути. Так делают, потому что вес всей цепи легко заметить в конце подъёма, но в начале поднята лишь малая часть. Проверьте себя: если ваша сила не равна нулю при x = 0, модель выбрана неверно.

Иногда работу считают равной MgL, не учитывая разные высоты звеньев. Эта ошибка предполагает, будто вся цепь поднята на L, хотя верхний и нижний участки перемещаются неодинаково. Проверка через центр масс сразу показывает правильную высоту L/2.

Можно перепутать массу M с линейной плотностью λ и потерять множитель L. Масса измеряется в килограммах, а λ — в килограммах на метр. Проверяйте размерность: итог работы должен иметь единицу джоуль.

Ещё одна ошибка — приравнять работу к изменению кинетической энергии. При медленном подъёме кинетическая энергия не меняется, а работа внешней силы увеличивает потенциальную энергию. Значит, нужно использовать ΔEп, а не только ΔEкин.

Связь с другими темами

Для решения нужны формулы работы постоянной силы, потенциальной энергии и связь работы с изменением энергии. Они помогают понять, почему при подъёме без ускорения работа внешней силы равна увеличению потенциальной энергии.

Эта задача подготавливает к изучению работы переменной силы. Суммирование элементарных работ приводит к определённому интегралу, который используется во многих разделах механики.

Тот же метод применяют к канатам, тросам и сыпучим материалам. Он особенно полезен, когда масса распределена по длине или объёму и разные части системы перемещаются на разные расстояния.

Что запомнить

• Линейная плотность однородной цепи равна λ = M/L.
• При подъёме цепи за один конец сила постепенно увеличивается.
• После подъёма участка длиной x сила равна F(x) = Mgx/L.
• Работа переменной силы находится суммированием элементарных работ.
• При подъёме всей цепи её центр масс поднимается на L/2.
• Работа подъёма всей цепи равна A = MgL/2.
• Результат можно получить через работу силы или через изменение потенциальной энергии.